Деление на ноль. Увлекательная математика

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000: 0 =...

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0: 0 = ...

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

Посмотрим на последовательность частных:

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Каких только вопросов не задают наши детки!.. А вот вопрос «Почему на ноль делить нельзя?» не задают. Почему? Потому что еще в школе учительница сказала, что НЕЛЬЗЯ. Нельзя, значит, нельзя! Много позже, уже в институтах, мы узнали, что делить оказывается все-таки можно, и получится в результате — бесконечность. Но, признайтесь, наш ум принял этот факт как некое допущение, условность, мы ведь с детства помним — нельзя. А, собственно, почему все-таки?

Для начала давайте разберемся, откуда появляется бесконечность, к понятию которой на первых курсах университета мы отнеслись с некоторой долей недоверия. Все удивительно просто: если какое-нибудь число делить на все меньшее и меньшее, то будет получаться все большее и большее значение. Чем меньше будет делитель, тем больше станет частное. Так появляется бесконечность.

Но физики и математики не любят бесконечности, потому условно принято, что на ноль делить нельзя. Получается, что допущением является невозможность делить на ноль.

Обратимся к азам математики. В арифметике существует четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Но равноправия у них нет. Математики считают основными действиями только два из них: сложение и умножение, остальные — обратные действия, следствия основных.

Рассмотрим понятие «вычитание». Для решения примера «5 — 3 = …» надо из пяти предметов убрать три, оставшееся при этом количество и будет ответом на наш пример. Но, учитывая, что основным действием считается сложение, давайте несколько изменим наш пример, записав его в виде сложения: «х + 3 = 5». То есть к какому числу надо прибавить три, чтобы получилось пять?

Так же дела обстоят с делением. Выражение «8: 4 = …» вытекает из выражения «4 x = 8». Сколько раз по четыре надо взять, чтобы получилось восемь?

И вот он, ответ! Если 5: 0 — это вариант записи 0 x = 5, то получается, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Сколько раз по нулю надо взять, чтобы получилось что-то большее, чем ничего?! Но при умножении на 0 всегда получается 0, этот факт лежит в самом определении нуля! Числа, которое при умножении на 0 дает что-то отличное от ноля, не существует. Получается, задача не имеет решения, а выражение 5: 0 не имеет смысла. Чтобы уменьшить количество бессмысленных задач, было принято, что на ноль делить нельзя.

Самые дотошные читатели непременно спросят: а как же с делением нуля на ноль?

Давайте разберемся. Получается, уравнение 0 x = 0 имеет решение? Или бесконечное число решений? «Х» может быть равен и единице, и двум, и миллиону. Так, при х=0, получается 0 0 = 0, тогда 0: 0=0? А при х=1, 0 1 =0, значит, 0: 0 = 1?! Или 0: 0 = 1000000?!

Выходит, мы не можем найти решения выражения «0: 0», значит, и у этого выражения нет решения. Получается, ноль на ноль тоже делить нельзя.

Вот к таким интересным умозаключениям можно прийти, задумавшись над известным с начальных классов фактом: на ноль делить нельзя.

Заинтересовало? Дочитали до конца? Значит, именно из-за таких как вы и появился следующий жизненный анекдот.

— Почему нельзя делить на ноль? Умножать же можно, причем тоже ноль получается.

— Почему нельзя? Можно, только результат такого деления — бесконечность

— А почему не ноль?

— Ну вот, смотри: 2*0 — это два взять ноль раз, будет ноль. А 2/0 — это «сколько раз ноль умещается в двойке», бесконечность.

— Если 2/0=х, то значит 2=х*0, то есть 2=0. А если 2=0, значит 2/0=0!

— Ну вот, чтобы такой ерундой не заниматься, математики и приняли негласное соглашение: на ноль делить нельзя!

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль - яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность - это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление - это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

• бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
• бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
• единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
• бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
• некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь - французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

• В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
• За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
• Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
• Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
• Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо .

Можно ли делить на ноль?

На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения :

В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:

1. Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
2. Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
3. Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.

Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.

Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?

Можно ли ноль делить на число?

С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:

• Ноль можно делить.
• Для деления следует использовать любое число.
• Нельзя делить ноль на ноль.

Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.

Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить , а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.

Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль . Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.

Если бесконечность делить на ноль

О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения - понятия разные .

Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:

• В числители должен быть знак бесконечности.
• В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
• В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.

Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.

В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости . Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.

А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил - наш соотечественник, Перельман . Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.

Парадоксы и бессмысленность деления на ноль

Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:

• Деление представляют как функцию, обратную умножению .
• Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
• По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
• В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
• Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение - любое число равно любому числу.

Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения , от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.

С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря - процесса деления не происходит , следовательно, и результата этого события быть не может.

Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.

Видео: делим на ноль

В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.