Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы

Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми .
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы , концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы , а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра. Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Правильной называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.

Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^ - периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.

V = SH S п = S б + 2S о S б = P ^ l

Определение 1 . Призматической поверхностью называется фигура, образованная частями нескольких плоскостей, параллельных одной прямой ограниченными теми прямыми, по которым эти плоскости последовательно пересекаются одна с другой*; эти прямые параллельны между собой и называются рёбрами призматической поверхности .
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую

Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.

Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.

Определение 3 . Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы ; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями ; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы . В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники . Все боковые грани призмы - параллелограммы ; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".

Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").

Определение 5 . Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности. В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро ; боковые грани будут прямоугольниками .
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.

Теорема 2 . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.

Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(3)

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее.

В основании призмы может лежать любые многоугольник – треугольник, четырехугольник, и т.д. Оба основания абсолютно одинаковы, а соответственно, которыми углы параллельных граней соединяются между собой, всегда параллельны. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. У прямой призмы ребра между боковыми гранями перпендикулярны основанию. При этом в основании прямой призмы может лежать многоугольник с любым количеством углов. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямоугольник – частный случай параллелограмма. Если в основании лежит именно эта фигура, а боковые грани расположены к основанию под прямым углом, параллелепипед называется прямоугольным. Второе название этого геометрического тела – прямоугольная .

Как она выглядит

Прямоугольных призм в окружении современного человека довольно много. Это, например, обычная картонная из-под обуви, компьютерных комплектующих и т.п. Оглядитесь по сторонам. Даже в комнате вы наверняка увидите множество прямоугольных призм. Это и компьютерный корпус, и книжная , и холодильник, и шкаф, и множество других предметов. Форма чрезвычайно популярна главным образом потому, что позволяет использовать место максимально эффективно, вне зависимости от того, оформляете вы интерьер или укладываете вещи в картонные перед переездом.

Свойства прямоугольной призмы

Прямоугольная призма обладает рядом специфических свойств. Любая пара граней может служить ее , поскольку все соседние грани расположены друг к другу под одним и тем же углом, и угол этот составляет 90°. Объем и площадь поверхности прямоугольной призмы вычислить проще, чем у любой другой. Возьмите любой предмет, имеющий форму прямоугольной призмы. Измерьте его длину, ширину и высоту. Чтобы найти объем , достаточно перемножить эти мерки. То есть формула выглядит так: V=a*b*h, где V – объем, a и b – стороны основания, h - высота, которая у этого геометрического тела совпадает с боковым ребром. Площадь основания вычисляется по формуле S1=a*b. Чтобы боковой поверхности, нужно сначала вычислить периметр основания по формуле P=2(a+b), а затем умножить его на высоту. Получается формула S2=P*h=2(a+b)*h. Для вычисления полной поверхности прямоугольной призмы сложите удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности. Получится формула S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Лекция: Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма

Призма

Если Вы вместе с нами выучили плоские фигуры из прошлых вопросов, значит, полностью готовы к изучению объемных фигур. Первое объемное тело, которое мы выучим, будет призма.

Призма – это объемное тело, которое имеет большое количество граней.

Данная фигура имеет в основаниях два многоугольника, которые расположены в параллельных плоскостях, а все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Рис 1. Рис. 2

Итак, давайте разберемся, из чего состоит призма. Для этого обратите внимание на Рис.1

Как уже говорилось ранее, у призмы есть два основания, которые параллельны друг другу – это пятиугольники ABCEF и GMNJK. Более того, данные многоугольники равны между собой.

Все остальные грани призмы называются боковыми гранями – они состоят из параллелограммов. Например, BMNC, AGKF, FKJE и т.д.

Общая поверхность всех боковых граней называется боковой поверхностью .

Каждая пара соседних граней имеет общую сторону. Такая общая сторона называется ребром. Например МВ, СЕ, АВ и т.д.

Если верхнее и нижнее основание призмы соединить перпендикуляром, то он будет называться высотой призмы. На рисунке высота отмечена, как прямая ОО 1 .

Существует две основных разновидности призмы: наклонная и прямая.

Если боковые ребра призмы не являются перпендикулярными к основаниям, то такая призма называется наклонной .

Если все ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то такая призма называется прямой .

Если в основаниях призмы лежат правильные многоугольники (те, у которых стороны равны), то такая призма называется правильной .

Если основания у призмы не параллельны друг другу, то такая призма будет называться усеченной.

Её Вы можете наблюдать на Рис.2

Формулы для нахождения объема, площади призмы

Существует три основных формулы нахождения объема. Отличаются они друг от друга применением:

Аналогичные формулы для нахождения площади поверхности призмы: