Графики показательных уравнений с модулем в показателе. Показательная функция

Цель: рассмотреть задачи Единого государственного экзамена базового, повышенного и высокого уровня сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>1, а0.

Задачи урока:

1. повторить свойство монотонности показательной функции;
2. свойство ограниченности показательной функции;
3. повторить определение абсолютной величины; работа с графиками, содержащими модуль;
4. ввести понятие сложной функции; рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Оборудование: презентация графиков функций, подготовленная с применением графической программы “Advanced Grapher”.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя.

Достаточно непросто определять область значений сложных функций.

Определим, что такое сложная функция. Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят что h есть сложная функция, составленная из функции g и f и пишут h=g(f(x)).

При этом D(h) является E(f) или его частью D(h)E(f).

Слайд 7. Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

Рисунок12.

Рисунок13.

Вопрос:

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

.

Рисунок14.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = убывает, так как <1.

При наименьшем значении показателя функции

. Е(у)=(0;].

График иллюстрирует наш вывод.

4. Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.

Слайд 8. Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Параллельный перенос на 1 единицу влево.

Параллельный перенос на 2 единицы влево.

window. google_render_ad(); Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально - графических методов на примере показательной функции у = ах, а>0, а1

Задачи урока:

l повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

l повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

l находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

l решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

l работа с графиками функций, содержащими модуль;

l рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2 Задачи на урок

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально - графических методов на примере показательной функции у = ах, а>о, а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 3 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания . Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови. Приведите свои примеры Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд4.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

· Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

· Какая функция называется показательной? Приведите пример.

· Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

· Область значения (ограниченность)

· область определения

· монотонность(условие возрастания убывания)

· Слайд 5 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

https://pandia.ru/text/80/043/images/image004_92.jpg" width="400" height="400 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image006_59.jpg" width="400" height="400 src=">

· Слайд 7. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3x + 2

https://pandia.ru/text/80/043/images/image009_46.jpg" width="353" height="407 src=">

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

· Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части класса по типу тестовых заданий из ЗНО с закрытой формой ответа)

1. Какая из показательных функций возрастающая?

2. Найти область определения функции.

3. Найти область значений функции.

4. График функции получается из графика показательной функции параллельным переносом вдоль оси… на.. единиц …

5. По готовому чертежу определите область определения и область значения функции

6. Определите при каком значении а показательная функция проходит через точку.

7. На каком рисунке изображен график показательной функции с основанием больше единицы.

8. Соотнесите график функции с формулой.

9. Графическое решение какого неравенства приведено на рисунке.

10. решите графически неравенство(по готовому чертежу)

· Самостоятельная работа(для сильной части класса)

· Слайд 8. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

· Слайд 9. Соотнесите формулу функции с ее графиком

7) https://pandia.ru/text/80/043/images/image018_24.jpg" width="500" height="524 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image020_21.gif" width="16 height=13" height="13">)

· Слайд 11 (проверка задания 8)

На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image022_20.gif" width="78" height="27 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image024_19.gif" width="104" height="33 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image026_16.gif" width="80" height="28 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image028_11.gif" width="66" height="27 src=">

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений, неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайд 12. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

ЗАДАНИЕ №1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд13.

· Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

(4/3)х= 4

СЛАЙД 14

https://pandia.ru/text/80/043/images/image044_10.jpg" width="94" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image046_3.gif" width="67" height="21 ">

Слайд 15.

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

· Решить уравнение:

3x = (х-1) 2 + 3

Слайд 16. .Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image051_3.gif" width="109" height="53">

т. к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

ЗАДАНИЕ № 2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

· Решить неравенство:

Слайд 17.

а) сos x 1 + 3x

Слайд 18. Решение:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image054_4.gif" width="300" height="50">

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

Слайд19.

· Что можно сказать про графики функций https://pandia.ru/text/80/043/images/image058_2.gif" width="18" height="21 src=">>12 - 1,5х

https://pandia.ru/text/80/043/images/image060_2.gif" width="59" height="22 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image062_2.gif" width="144" height="53">(запись на доске)

Слайд 20.

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде. Объяснить, как построены графики.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image066_1.gif" width="12" height="23 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image068_2.gif" width="21" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image070_3.jpg" width="400" height="400 src=">

Е(у)=(0;1]

Слайд 21.

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции..gif" width="36" height="14">> 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

ЗАДАНИЕ 4.Нахождение области значений сложной функции.

Слайд 22.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

Слайд 23.

, - вершина параболы.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image080_4.jpg" width="103" height="44">

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)

09.07.2015 8999 0

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

I. Сообщение темы и цели урока

II . Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

f (х), построить график функции у = f (-х) + 2?

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f (х), построить график функции у = - f (х) - 1?

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f (х) с областью определения D (f ), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

1) Построение графика функции у = | f (x )|

f /(x ), если Дх)>0,

По определению модуля получим: Это означает, что для построения графика функции у = | f (x )| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f (х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Построение графика функции у = f (| x |)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим: Поэтому для построения графика функции у = f (| x |) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3) Построение графика уравнения |у| = f (x )

По определению модуля имеем, что при f (х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f (х) и у = - f (х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f (х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f (х).

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции

Выделим в этой функции целую часть Такой график получается при смещении графика функции у = -1/ x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

Пример 2

Построим график функции

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Пример 3

Построим график функции

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

Пример 4

Построим график уравнения

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

Пример 5

Построим график функции

Используем график функции построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

Пример 6

Построим график функции

Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

Получим:

1. При

2. При

3. При

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

Пример 7

Построим график уравнения

Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока

Транскрипт

1 МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция.. Решение показательных уравнений и неравенств. 6. Логарифмы и их свойства. 7. Логарифмическая функция. 8. Решение логарифмических уравнений и неравенств.. Обобщение понятия степени. Квадратный корень из числа это такое число, квадрат которого равен. Корнем -й степени из числа называется такое число, я степень которого равна. Например, 7 =, так как = 7 или **=7 6 6 =, так как 6 = 6, но и (-) 6 =6 Поэтому числа и - являются корнями шестой степени из числа 6. Согласно определению, корень й степени из числа это решение уравнения =. Число корней этого уравнения зависит от и. Рассмотрим функцию f() =. На промежутке }