Противоположные числа: определение, обозначение, примеры. Видеоурок «Противоположные числа

В этой статье мы изучим противоположные числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по странице.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет .

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число , следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .

Определение.

Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел .

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .

Приведем примеры противоположных чисел . Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел . Числа и - это противоположные рациональные числа . Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N . Например, от M до нуля ­– расстояние в 2 , 4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Допустим, наше число равно a , следовательно, ему противоположно – a (минус a). Точно таким же образом для 0 , 26 противоположно - 0 , 26 , а для 145 это будет - 145 . Если исходное число само является отрицательным, например, - 9 , то противоположное мы записываем как – (- 9) .

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и - 12 . Противоположные рациональные числа – это 3 2 11 и - 3 2 11 , а также 8 , 128 и − 8 , 128 , 0 , (18901) и − 0 , (18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2 + 1 и - 2 + 1 .

Противоположными иррациональными числами также будут e и - e .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно − (− a) = a . Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число 5 . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число - 5 , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное - 5 как – (- 5) . Получается, что – (- 5) = 5 . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a является противоположным числу b , тогда и b является противоположным числу a .

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0 .

В буквенном виде это утверждение выглядит как a + (− a) = 0 .

Пример 2

Приведем примеры таких вычислений:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Интересное понятие из школьного курса обучения - это противоположные числа, рассматривать которые можно как математически, так и геометрически. Понимание данной темы упрощает изучение математики, позволяет быстрее справляться с некоторыми задачами - поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.

В чем заключается суть термина?

Чтобы понять смысл противоположных чисел, на минуту обратимся к геометрии. Нарисуем прямую координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим еще две отметки на прямой - например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Само собой, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым - и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» отстоят от нуля на одно и то же расстояние, но в разных направлениях - соответственно, они являются полностью противоположными друг другу.

В этом и заключается суть. Числа могут быть сколько угодно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако каждое из них обладает неким числом, составляющим его полную противоположность. Определение можно дать следующее - если на прямой координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить к началу отсчета равное расстояние - эти точки, а точнее, соответствующие им числа, будут противоположны.

Какие правила можно вывести из определения?

Стоит запомнить несколько безусловных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:

• Принцип противоположности для двух чисел работает в обе стороны. Например, числу 3 противоположно число -3 - и поэтому числу -3 противоположно только число 3, а не какое-нибудь другое.
• У числа не может быть двух противоположностей - таковая всегда только одна.
• Противоположными друг другу могут быть числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком «минус» - например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону - для числа со знаком «минус» противоположным всегда будет то, что со знаком «плюс» - например, -6 и 6.
• Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение, или модуль. Иными словами, если для числа 4

§ 1 Понятие положительного числа

В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число, а еще, что такое целые и рациональные числа.

Начнем с практической работы. На координатной прямой отметим точки А(2) и В(-2). Они симметричны и центром симметрии данных точек является начало координат О(0), так как расстояние ОА=ОВ.

Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат - это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

Есть еще одно определение противоположных чисел. Чему равны модули чисел 2 и -2? Равны 2. Следовательно, противоположные числа - это числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком.

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, числу -25 противоположно число −(−25), но числу -25 на координатной прямой противоположно 25, значит -(-25) = 25. Из этого следует, что -(-а) = а и а =-(-а).

§ 2 Свойства противоположных чисел

Выделим некоторые свойства противоположных чисел.

Число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.

Если число a противоположно числу b, то b противоположно a - это следует из свойства симметричности точек на координатной прямой.

Обратимся к координатной прямой. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричных данной относительно начала координат? Только одну. Значит, для каждого числа есть только одно противоположное число.

Лишь одно число противоположно самому себе - это число 0, поскольку 0=-0 (поэтому -0 писать не принято).

Числа с общим признаком образуют множество (или группу), каждое множество имеет свое название.

Вспомним, числа, которые мы используем при счете, называются натуральными, они образуют множество натуральных чисел.

Каждому натуральному числу можно найти противоположное число. Натуральные числа, числа им противоположные, и число 0 называют целыми числами.

Положительными или отрицательными могут быть и дробные числа. Все целые числа и все дроби называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел.

Выделим еще две группы чисел. Возьмем координатную прямую. Если убрать часть прямой, на которой находятся отрицательные числа, останется луч с положительными числами и началом отсчета числом 0. Оставшиеся числа называют неотрицательными, то есть числа, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительные числа - это все отрицательные числа и число 0, то есть числа, которые меньше или равны 0.

Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, научились находить число, противоположное данному.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
4. Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
5. Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru