Таблица 8.5 свойства параллелограмма решение. Исследовательский проект "параллелограмм и его свойства"

Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Теорема доказана .

Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство .
Аналогично,

Теорема доказана .

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство .

Теорема доказана .

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH - требуемый угол.
)

Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

1. Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
2. Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.

,

Sпр-ма - площадь;

a и b - его стороны

α - угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

1. a и b, α - стороны и угол между ними;
2. d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
3. h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;

Параметр	Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними
по диагоналям и стороне
через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).

Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АС В равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:

(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, и как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме и т. д.

Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.

4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря,

Доказательство. Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО что и требовалось доказать.

Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).

Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.

1". Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDА будут равны, как имеющие три пары равных сторон.

Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

2. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть . Так как то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).

3. Предоставляем формулировку и доказательство читателю.

4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству Г.

Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.

5. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС, вторая его высота представлена отрезком .

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,

Решение.

1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Тема урока

• Свойство диагоналей параллелограмма.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Вступительное слово.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Параллелограмм, его свойства и признаки.
4. Примеры задач.
5. Самостоятельная проверка.

Введение

«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Свойство противолежащих сторон параллелограмма

У параллелограмма противолежащие стороны равны.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.

Свойство противолежащих углов параллелограмма

У параллелограмма противолежащие углы равны.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.

Свойство диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO.
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.

Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.

Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.

О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.

Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.

Вопросы

1. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
   
2. Диагонали параллелограмма равны?
3. Противолежащие углы параллелограмма равны?
4. Сформулируйте определение параллелограмма?
5. Сколько признаков параллелограмма?
   
6. Может ли ромб быть параллелограмом?
   

Список использованных источников

1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Предмети > Математика > Математика 8 класс