Разновидности математических моделей и их использование. Пример математической модели
Основные признаки классификации и типы ММ, применяемые в САПР, даны в таблице 1.
Таблица 1.
Признак классификации |
Математические модели |
Характер отображаемых свойств объекта |
Структурные; функциональные |
Принадлежность к иерархическому уровню |
Микроуровня; макроуровня; метауровня |
Степень детализации описания внутри одного уровня |
Полные; макромодели |
Способ представления свойств объекта |
Аналитические, алгоритмические, имитационные |
Способ получения модели |
Теоретические, эмпирические |
По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные .
Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические .
В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п.
В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов и т. п.
Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры, т.е. алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q .
Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро -, макро - и метауровнями .
В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро -, макро - и метауровням .
Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).
На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить и виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 3 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне .
На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям, элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макроуровне.
В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания , применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.
Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.
По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели .
Полная ММ - модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех элементов проектируемого объекта), описывающая не только процессы на внешних выводах моделируемого объекта, но и внутренние процессы объекта.
Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.
Примечание. Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и обычно используются для различения двух моделей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.
По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические .
Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, но получение явного выражения удается лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.
Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.
Имитационная ММ - алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.
Обычно в имитационных моделях фигурируют фазовые переменные. Так, на макроуровне имитационные модели представляют собой системы алгебро-дифференциальных уравнений:
где V - вектор фазовых переменных; t - время; V o - вектор начальных условий. К примерам фазовых переменных можно отнести токи и напряжения в электрических системах, силы и скорости - в механических, давления и расходы - в гидравлических.
Выходные параметры систем могут быть двух типов. Во-первых, это параметры-функционалы, т. е. функционалы зависимостей V(t ) в случае использования (1). Примеры таких параметров: амплитуды сигналов, временные задержки, мощности рассеивания и т. п. Во-вторых, это параметры, характеризующие способность проектируемого объекта работать при определенных внешних условиях. Эти выходные параметры являются граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность объекта.
При проектировании технических объектов можно выделить две основные группы процедур: анализ и синтез. Для синтеза характерно использование структурных моделей, для анализа - использование функциональных моделей. К математическому обеспечению анализа относятся математические модели, численные методы, алгоритмы выполнения проектных процедур. Компоненты МО определяются базовым математическим аппаратом, специфичным для каждого из иерархических уровней проектирования.
В САПР анализ выполняется математическим моделированием.
Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте.
Моделирование большинства технических объектов можно выполнять на микро-, макро и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.
микроуровне , называемого распределенным , является система дифференциальных уравнений в частных производных (ДУПЧ), описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Независимыми переменными являются пространственные координаты и время. К моделям на микроуровне относятся многие сравнения математической физики. Объектами исследования являются поля физических величин, что требуется при анализе прочности строительных сооружений или машиностроительных деталей, исследовании процессов в жидких средах, моделировании концентраций и потоков частиц в электронных приборах и т. п. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т.д. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.
Система дифференциальных уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье-Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т.д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов.
Число совместно исследуемых различных сред (число деталей, слоев материала, фаз агрегатного состояния) в практически используемых моделях микроуровня не может быть большим ввиду сложностей вычислительного характера. Резко снизить вычислительные затраты в многокомпонентных средах можно, только применив иной подход к моделированию, основанный на принятии определенных допущений.
Допущение, выражаемое дискретизацией пространства, позволяет перейти к моделям макроуровня, называемым с осредоточенными . Математической моделью технического объекта на макроуровне является система алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями.
В этих уравнениях независимой переменной является время t , а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п.
В основе ММ лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами. Предпосылкой создания единого математического и программного обеспечения анализа на макроуровне являются аналогии компонентных и топологических уравнений физически однородных подсистем, из которых состоит технический объект. Для получения топологических уравнений используются формальные методы.
Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются:
Обобщенный метод,
Табличный метод,
Узловой метод,
Метод переменных состояний.
Методы отличаются друг от друга видом и размерностью получаемой системы уравнений, способом дискретизации компонентных уравнений реактивных ветвей, допустимыми типами зависимых ветвей. Упрощение описания отдельных компонентов (деталей) позволяет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, механических узлах, число компонентов в которых может доходить до нескольких тысяч. Для сложных технических объектов размерность ММ становится чрезмерно высокой, и для моделирования приходится переходить на метауровень.
На метауровне моделируют в основном две категории технических объектов: объекты, являющиеся предметом исследований теории автоматического управления, и объекты, являющиеся предметом теории массового обслуживания. Для первой категории объектов возможно использование математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов используют методы событийного моделирования.
Когда число компонентов в исследуемой системе превышает некоторый порог, сложность модели системы на макроуровне вновь становится чрезмерной. Принимая соответствующие допущения, переходят на функционально-логический уровень, где используется аппарат передаточных функций для исследования аналоговых (непрерывных) процессов или аппарат математической логики и конечных автоматов, если объектом исследования является дискретный процесс.
Для исследования еще более сложных объектов (производственные предприятия и их объединения, вычислительные системы и сети, социальные системы и др.) применяют аппарат теории массового обслуживания, возможно использование и некоторых других подходов, например сетей Петри. Эти модели относятся к системному уровню моделирования.
Математические модели различают в основном по характеру отображаемых свойств системы, степени их детализации, способам получения и формального представления.
Структурные и функциональные модели. Если ММ отображает элементы и их связи в системе, то ее называют структурной математической моделью . Если же ММ отражает происходящие в системе какие-либо процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям . Ясно, что могут существовать и смешанные ММ, которые описывают как функциональные, так и структурные свойства системы. Структурные ММ делят на топологические и геометрические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав системы и связи между его элементами. Топологические ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложной системы. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы системы.
Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах системы и ее элементов, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебраические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства системе или ее элементам. Геометрические ММ находят применение при проектировании элементов технических систем, разработке технической документации и технологических процессов изготовления изделий.
Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внешниеи выходные параметры системы. Функционирование сложных систем нередко удается описать лишь при помощи совокупности ее реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия. Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью,имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования, не раскрывая и не описывая существа протекающих в системе процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в исследовании сложных систем.
По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической ММ , поскольку связь в ней между входными и выходными параметрами системы удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде программы. К типу алгоритмических ММ относят широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи междупараметрами системы можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При созданиииерархии ММ одной и той же системы обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.
Ясно, что ММ конкретной системы по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгоритмической ММ. Более того, в процессе моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую.
По способу получения математические модели могут быть теоретическими илиэмпирическими . Первые получают в результате изучения свойств системы, протекающих в ней процессов на основе использования известных фундаментальных законов сохранения, а также уравнений равновесия, а вторые являются итогом обработки результатов внешних наблюдений за проявлением этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных системы, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому по форме представления эмпирическая ММ может содержать признаки как алгоритмической,так и аналитической ММ. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации .
Особенности функциональных моделей. Одной из характерных особенностей функциональной ММ является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической (или вероятностной), а при их отсутствии - детерминированной .
Далеко не все параметры реальных систем можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких систем, строго говоря, следует отнести к стохастическим, поскольку выходные параметрысистемыбудут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров.
Для анализа стохастических ММ необходимо использовать выводы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность в их применении обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с не высокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных.
Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров системы во времени. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств системы, то ее обычно называют динамической . В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров системы, называют статической.
Стационарные ММописывают системы, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых интересующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания.
Если выходные параметры системы изменяются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени этими изменениями можно пренебречь, то считают ММ нестационарной .
Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММявляется ее линейность, в смысле связи параметров системы линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра системы линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров - сложение их влияний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции . Если ММ не обладает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной.
Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможности анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нелинейной ММ системы можно было использовать аналитические методы, ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную ММсистемы. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате адекватности ее. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия, когда малые изменения входных параметров могут вызвать качественные изменения в состоянии системы.
Каждый параметр системы может быть двух типов - непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой - только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные дискретные и смешанные математические модели. Впроцессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММрассматриваемой системе.
Формы представления математических моделей. При математическом моделировании сложной системы описать ее поведение одной ММ, как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким системам обычно применяют принцип декомпозиции . Он состоит в условном разбиении системы на подсистемы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом их взаимного влияния друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждой выделенной подсистеме вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММсвязанных между собой подсистем. Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурныхММ системк более высокому уровню иерархии относят топологическиеММ, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией, - геометрическиеММ. Среди функциональныхММиерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в системе и ее элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро - макро - и мета-уровень.
Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами, а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами. В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых - только от времени.
Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 10 4 -10 5 , то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характеристики системы и особенности ее поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложной системы стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметровэлементов, ограничиваясь, лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для ММ метауровня .
Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюционной ) ММ микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия. В свою очередь краевые условия содержат начальные и граничные условия. К начальным условиям относят распределения искомых фазовых переменных в некоторый момент времени. Границы же пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому элементу или системе в целом являются граничными условиями. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменные и коэффициенты уравнений.
ММ микроуровня называют одномерной, двумернойили трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровня.
Расчеты напряженно - деформированного состояния балки
Выполнил студент гр. 6-См-1 Мельников Р. В.
Руководитель Семенов А. А.
Санкт-Петербург
Введение……………………………………………………………………………………………………….2
1. Классификация математических моделей………………………………………………3
2. Метод Ритца………………………………………………………………………………………..……5
3. Расчеты напряженно - деформированного состояния балки………….…….7
3.1. Расчет линейно-упругой задачи для стальной балки…………….…….7
3.2. Расчет нелинейно-упругой задачи для стальной балки……….….…..9
3.3. Расчет линейно-упругой задачи для бетонной балки………….…….12
3.4. Расчет задачи ползучести для бетонной балки………………………….13
Заключение………………………………………………………………………………..……………….15
Список используемой литературы…………………………………………………………….16
Введение
С появлением электронно-вычислительных машин был разработан новый способ теоретического исследования сложных процессов, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.
Суть вычислительного эксперимента состоит в составлении математической модели изучаемого процесса или явления, которая представляет собой некоторые математические уравнения, затем разрабатывается вычислительный алгоритм для решения этих уравнений, составляется программа для ЭВМ и проводится расчет конкретных вариантов состояния объекта при изменении входящих в уравнение параметров. Т. о. основой изучения различных объектов является построение математической модели их функционирования.
Целью курсовой работы является разработка математических моделей деформирования элементов строительных конструкций, построение методики исследования напряженно-деформированного состояния стальной и бетонной балок.
Классификация математических моделей
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.
Математические модели можно классифицировать по нескольким основным признакам.
1. Статические и динамические модели
Модель называется статической, если значение выхода зависит от значения входа в один и тот же момент времени. В динамических моделях значение выхода может зависеть от всего прошлого входного процесса. Для динамических моделей предметом изучения является изменение исследуемого объекта во времени.
2. Детерминированные и вероятностные модели.
Если математическая модель включает случайные величины, подчиняющиеся статистическим законам, то она называется вероятностной или стохастической. Математическая модель, не содержащая случайных компонентов, называется детерминированной.
3. Дискретные и непрерывные модели.
Величины могу быть двух типов – дискретные, т. е. принимающие отдельные значения, допускающие естественную нумерацию, и, непрерывные, принимающие все значения из некоторого интервала. Возможный также смешанный случай, например, когда на одном интервале величина ведет себя как дискретная, а на другом – непрерывная. Подобным образом и математические модели могут быть либо дискретными, либо непрерывными, либо смешанными. Надо учитывать возможность применения либо дискретного, либо непрерывного аппаратов при построении математической модели и способа ее исследования.
4. Линейные и нелинейные модели.
Линейная зависимость одной величины от другой – это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида y=ax+b, откуда получаем △y=a△x. Аналогично, определяется понятие и линейной модели. Если модель рассматривать как преобразователь, для которого каждому входу соответствует некоторый выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполняется принцип суперпозиции, т.е. при сложении входов складываются и выходы, при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком – либо случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного – различие между двумя решениями носит лишь количественный характер.
Одним из важнейших свойств математических моделей является их универсальность. Его сущность заключается в том, что одними и теми же математическими моделями могут описываться совершенно различные по природе процессы, т.е. одни и те же приемы и методы построения и исследования математических моделей пригодны для различных задач.
Однако решение таких задач требует интегрирования сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например прямые методы вариационных задач (метод Ритца), а также метод конечных элементов.
Метод Ритца
Метод Ритца - прямой метод нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления.
Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определенный функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции. Пространственный оператор в операторном уравнении, который описывает краевую задачу, должен быть линейным, симметрическим и положительно-определенным.
Метод Ритца позволяет найти неизвестные функции перемещений из условия минимума функционала полной энергии деформации.
Рассмотрим функционал энергии:
Требуется найти минимум функционала (3.1), т. е. найти функции u (x , y ), v (x , y ) , w (x , y ) , заданные в некоторой области D = {0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b }, удовлетворяющие некоторым однородным краевым условиям на границе Γ , при которых функционал (1) имеет минимальное значение. Приближенное решение поставленной задачи будем искать в виде:
u(x,y)=u N = ,
v(x,y)=v N = ,
w(x,y)=w N= .
Чтобы избежать двух индексов, представим перемещения в виде:
Здесь U (I ), V (I ), W (I ) – неизвестные числовые параметры; X 1(I ), X 2(I ), X 3(I )– известные аппроксимирующие функции переменной x , удовлетворяющие при x = 0, x = a заданным краевым условиям; Y 1(I ), Y 2(I ), Y 3(I ) – известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y = 0, y = b заданным краевым условиям. Функции X 1(I ) − X 3(I ) , Y 1(I ) − Y 3(I ) называются базисными функциями.
Подставляя (2) в (1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведем функционал (1) к функции:
J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)
параметров U (I ), V (I ), W (I ), I =1,…,N .
Чтобы функция (3.3) имела минимум, ее частные производные по переменным U (l ),V (l ),W (l ), l =1,.., N должны обращаться в нуль:
Система (4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод Гаусса. Найденные значения параметров U (I ), V (I ), W (I ) подставляем в разложения (2) и получаем приближенное решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано.
Математическая модель является упрощением реальной ситуации и представляет собой абстрактный, формально описанный объект, изучение которого возможно различными математическими методами .
Рассмотрим классификацию математических моделей.
Математические модели делятся:
1. В зависимости от характера отображаемых свойств объекта:
· функциональные;
· структурные.
Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.
Таким образом, функциональные модели - отображают процессы функционирования объекта. Они имеют чаще всего форму системы уравнений.
Структурныемодели - могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве. Эти модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать, абстрагируясь от физических процессов в объекте. Они отражают структурные свойства проектируемого объекта.
Для получения статического представления моделируемого объекта может быть использована группа методов, называемых схематическими моделями - это методы анализа, включающие графическое представление работы системы. Например, технологические карты, диаграммы, многофункциональные диаграммы операций и блок-схемы.
2. По способам получения функциональных математических моделей:
· теоретические;
· формальные;
· эмпирические.
Теоретические получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование.
Формальные получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, т.е. рассмотрение объекта как кибернетического «черного ящика».
Теоретический подход позволяет получать модели более универсальные, справедливые для более широких диапазонов изменения внешних параметров.
Формальные - более точны в точке пространства параметров, в которой производились измерения.
Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.
3. В зависимости от линейности и нелинейности уравнений:
· линейные ;
· нелинейные .
4. В зависимости от множества области определения и значений переменных модели бывают:
· непрерывные
· дискретные (области определения и значений непрерывны);
· непрерывно-дискретные (область определения непрерывна, а область значений дискретна). Эти модели иногда называют квантованными;
· дискретно-непрерывные (область определения дискретна, а область значений непрерывна). Эти модели называют дискретными;
· цифровые (области определения и значений дискретны)
5. По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами:
· алгоритмические;
· аналитические;
· численные.
Алгоритмическими называют модели, представленных в виде алгоритмов, описывающих последовательность однозначно интерпретируемых операций, выполняемых для получения необходимого результата.
Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.
Аналитическими математическими моделями называется такое формализованное описание объекта (явления, процесса), которое представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от входных и внутренних параметров.
Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий (критерии), неизвестные, данные, математические операции, ограничения. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта. К аналитическим относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа. Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта (системы), которую требуется вычислить или оптимизировать. В частности, это может быть производительность технологической системы. Переменные выражают технические характеристики объекта (системы), в том числе варьируемые, ограничения – их допустимые предельные значения.
Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.
Важным моментом является размерность конкретной аналитической модели. Часто для реальных технологических систем (автоматических линий, гибких производственных систем) размерность их аналитических моделей столь велика, что получение оптимального решения оказывается весьма сложным с вычислительной точки зрения. Для повышения вычислительной эффективности в этом случае используют различные приемы. Один из них связан с разбиением задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности так, чтобы автономные решения подзадач в определенной последовательности давали решение основной задачи. При этом возникают проблемы организации взаимодействия подзадач, которые не всегда оказываются простыми. Другой прием предполагает уменьшение точности вычислений, за счет чего удается сократить время решения задачи.
Аналитическая модель может быть исследована следующим методами:
· аналитическим, когда стремятся получить в общем виде зависимости для искомых характеристик;
· численными, когда стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;
· качественными, когда, имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость решения).
Однако аналитическое моделирование дает хорошие результаты в случае достаточно простых систем. В случае сложных систем требуется либо существенное упрощение первоначальной модели, чтобы изучить хотя бы общие свойства системы. Это позволяет получить ориентировочные результаты, а для определения более точных оценок использовать другие методы, например, имитационное моделирование.
Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, которая допускает только решения, получаемые численными методами, для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.
6. В зависимости от того, учитывают уравнения модели инерционность процессов в объекте или не учитывают:
· динамические илиинерционные модели (записываются в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений или систем уравнений);
· статические или неинерционные модели (записываютсяв виде алгебраических уравнений или систем алгебраических уравнений).
7. В зависимости от наличия или отсутствия неопределенностей и вида неопределенностей модели бывают:
· детерминированны е (неопределенности отсутствуют);
· стохастические (присутствуют неопределенности в виде случайных величин или процессов, описываемых статистическими методами в виде законов или функционалов распределений, а также числовыми характеристиками);
· нечеткие (для описания неопределенностей используется аппарат теории нечетких множеств) ;
· комбинированные (присутствуют неопределенности обоих видов).
В общем случае вид математической модели зависит не только от природы реального объекта, но и от тех задач, ради решения которых она создается, и требуемой точности их решения
Основные виды моделей представленные на рисунке 2.5.
Рассмотрим еще одну классификацию математических моделей. Эта классификация основана на понятии управляемости объекта управления.Все ММ разобьем условно на четыре группы. 1.Модели прогноза (расчетные модели без управления). Их можно разделить на статические и динамические .Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики, аэродинамики и т.д. 2.Оптимизационные модели. Эти модели так же можно разделить на статические и динамические. Статические модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи . Вся входная информация в них является полностью определяемой.Второе направление относится к стохастическим процессам . В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.В математическом программировании выделяются следующие основные разделы. · Линейное программирование . Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. · Нелинейное программирование . Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения. · Выпуклое программирование . Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача. · Квадратичное программирование . Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные. · Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными. · Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.
Рис. 4.8. Классификация математических моделей
Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами. Различают три вида математических моделей теории оптимального управления. · Дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования, так как основной метод решения таких задач метод динамического программирования Беллмана. · Непрерывные модели оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами (описываются уравнениями в обыкновенных производных). · Непрерывные модели оптимального управления системами с распределенными параметрами (описываются уравнениями в частных производных). 3. Кибернетические модели (игровые). Кибернетические модели используются для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. 4. Имитационное моделирование . Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализованы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.
Признак классификации | Экономико-математические модели |
Общее целевое назначение Степень агрегирования объектов моделирования Конкретное назначение Тип используемой в модели информации Фактор времени Фактор неопределенности Тип математического аппарата Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам | Теоретико-аналитические Прикладные Макроэкономические Микроэкономические Балансовые Трендовые Оптимизационные Имитационные Аналитические Идентифицируемые Статические Динамические Детерминированные Стохастические Матричные модели Модели линейного и нелинейного программирования Корреляционно-регрессионные модели Модели теории массового обслуживания Модели сетевого планирования и управления Модели теории игр Дескриптивные Нормативные |
Рассмотрим выделенные классификационные признаки подробнее.
По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.
По степени агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, хотя между ними и нет четкого разграничения. К первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.
По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют:
Балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования;
Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей;
Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;
Имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.
По типу информации, используемой в модели ; экономико-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.
По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.
По учету фактора неопределенности модели делятся на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.
По типу математического аппарата, используемого в модели, т.е. по характеристике математических объектов, включенных в модель, могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.
По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получают модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений. В качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а тем, как она должна быть устроена и как должна действовать согласно определенным критериям.
Проблемы моделирования. Как все средства и методы, модели науки управления в случае их применения могут привести к ошибкам. Эффективность модели иногда снижается действием ряда потенциальных погрешностей.
Недостоверные исходные допущения. Любая модель опирается на некоторые исходные допущения, или предпосылки. Это могут быть поддающиеся оценке предпосылки, например то, что расходы на рабочую силу в следующие шесть месяцев составят 200 тыс. долл. Такие предположения можно объективно проверить и просчитать. Вероятность их точности будет высока. Некоторые предпосылки не поддаются оценке и не могут быть объективно проверены. Предположение о росте сбыта в будущем году на 10 % - пример допущения, не поддающегося проверке. Никто не знает наверняка, произойдет ли это действительно. Поскольку такие предпосылки - основа модели, точность последней зависит от точности предпосылок. Модель нельзя использовать для прогнозирования, например, потребности в запасах, если неточны прогнозы сбыта на предстоящий период.
В дополнение к допущениям по поводу компонентов модели руководитель формулирует предпосылки относительно взаимосвязей внутри нее. К примеру, модель, предназначенная помочь решить, сколько галлонов краски разных типов следует производить, должна, вероятно, включать допущение относительно зависимости между продажной ценой и прибылью, а также стоимостью материалов и рабочей силы. Точность модели зависит также от точности этих взаимосвязей.
Информационные ограничения. Основная причина недостоверности предпосылок и других затруднений - ограниченные возможности в получении нужной информации, которые влияют и на построение, и на использование моделей. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Если ситуация исключительно сложна, специалист по науке управления может быть не в состоянии получить информацию по всем релевантным факторам или встроить ее в модель. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но это может быть нереализуемо или непрактично.
Иногда при построении модели игнорируются существенные аспекты, поскольку они не поддаются измерению. Например, модель определения эффективности новой технологии будет некорректной, если в нее встроена только информация о снижении издержек в соответствии с увеличением специализации. В общем, построение модели наиболее затруднительно в условиях неопределенности. Когда необходимая информация настолько неопределенна, что ее трудно получить исходя из критерия объективности, руководителю, возможно, целесообразнее положиться на свой опыт, способность к суждению, интуицию и помощь консультантов.
Страх пользователей. Модель нельзя считать эффективной, если ею не пользуются. Основная причина неиспользования модели заключается в том, что руководители, которым она предназначена, могут не вполне понимать получаемые с помощью модели результаты и потому боятся ее применять. Для борьбы с этим возможным страхом специалистам по количественным методам анализа следует значительно больше времени уделять ознакомлению руководителей с возможностями и порядком использования моделей. Руководители должны быть подготовлены к применению моделей, а высшему руководству следует подчеркивать, насколько успех организации зависит от моделей и как они повышают способность руководителей эффективно планировать и контролировать работу организации.
Слабое использование на практике. Согласно ряду исследований уровень методов моделирования в рамках науки управления превосходит уровень использования моделей. Как указывалось выше, одна из причин такого положения дел - страх. Другими причинами могут быть недостаток знаний и сопротивление переменам. Данная проблема подкрепляет желательность того, чтобы на стадии построения модели штабные специалисты привлекали к этому пользователей. Когда люди имеют возможность обсудить и лучше понять вопрос, метод или предполагаемое изменение, их сопротивление обычно снижается.
Чрезмерная стоимость. Выгоды от использования модели, как и других методов управления, должны с избытком оправдывать ее стоимость. При установлении издержек на моделирование руководству следует учитывать затраты времени руководителей высшего и низшего уровней на построение модели и сбор информации, расходы, время на обучение, стоимость обработки и хранения информации.
Основные модели, используемые для разработки управленческих решений. Существует огромное множество конкретных моделей, используемых для разработки управленческих решений. Их число также велико, как и число проблем, для разрешения которых они были разработаны .
В общем виде в составе экономико-математических моделей можно выделить следующие:
Модели линейного программирования;
Оптимальные экономико-математические модели (имитационные модели, модели сетевого планирования и управления);
Модели анализа динамики экономических процессов;
Модели прогнозирования экономических процессов (трендовые модели на основе кривых роста, адаптивные модели прогнозирования);
Балансовые модели;
Эконометрические модели;
Прочие прикладные модели экономических процессов (модель спроса и предложения, модели управления запасами, модели теории массового обслуживания, модели теории игр).
Рассмотрим подробнее некоторые из перечисленных моделей, наиболее часто использующиеся в практике управления.
Модели теории игр. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр - это метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.
Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в стратегии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, новые кампании поддержки сбыта, предложения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение новой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.
Теория игр используется не так часто, как другие описываемые здесь модели, так как ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не менее теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могущие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность решения . Подробнее элементы теории игр рассмотрены в главе, посвященной разработке управленческих решений в условиях неопределенности и риска.
Модели теории массового обслуживания используются для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового обслуживания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить положенное количество ездок за день.
Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требуется больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю поездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).
Так, модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки .
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований простейший (пуас-соновский).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления P k (t) за время t равно k требований задается формулой
Важная характеристика систем массового обслуживания - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования - это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t , определяется этой формулой, где (µ - параметр экспоненциального закона распределения времени, необходимого для обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t об :
Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных систем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.
Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет п обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ.
Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше п требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования t об - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ.
Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого - наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслуживания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).
Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.
Введем в рассмотрение параметр α = λ / µ. Заметим, что если α / п < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: λ,-среднее число требований, поступающих за единицу времени; 1/ µ - среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ х 1 / µ - среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. Поэтому условие α / п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы систем массового обслуживания:
1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
2) вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:
3) вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
5) среднее время ожидания требования в системе:
6) средняя длина очереди:
7) среднее число свободных от обслуживания каналов:
8) коэффициент простоя каналов:
9) среднее число занятых обслуживанием каналов:
10) коэффициент загрузки каналов:
При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше т требований (т - число обслуживаемых объектов) .
Модели управления запасами используются для того, чтобы определить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов во избежание задержек на производстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого количества лекарств, для производственной фирмы - сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас готовой продукции.
Цель данной модели - сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов:
На размещение заказов;
На хранение;
Потери, связанные с недостаточным уровнем запасов.
Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае продажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозможно, кроме того, возникают потери от простоя производственных линий, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.
Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запасов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками - расходами на хранение, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потерями от порчи, воровства и дополнительными налогами.
Кроме того, руководство должно учитывать возможность связывания оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вложению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банковские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов заказывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать .
В практической деятельности организации часто используются следующие системы регулирования товарных запасов .
Система с фиксированным размером заказа - наиболее распространенная система, в которой размер заказа на пополнение запасов - постоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляется при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа - это:
Точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;
Размер заказа, т.е. величина партии поставки.
Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом - для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором -для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.
Система с фиксированной периодичностью заказа - заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой системы - это:
Максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;
Продолжительность периода повторения заказов.
Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из достоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.
Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа - допустимый уровень запасов регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).
Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:
Максимальный уровень запаса;
Нижний уровень запаса (точка заказа);
Длительность периода между заказами.
Первые два параметра постоянны, третий - частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток системы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.
Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной периодичности заказа, или (s, S)-стратегия управления запасами, - эту систему называют также (S-s)-стратегией, или системой «максимум-минимум». Рассмотрим (s, S)-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:
Нижний (критический) уровень запаса s;
Верхний уровень запаса S.
Если через х обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через p - величину пополнения, а через у = х + р - величину запасов после пополнения, то (s, S)-стратегия управления запасами задается функцией
т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов больше критического уровня s; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что величина пополнения равна p = S - x.
Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое постоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, связанных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:
Затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с организацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении размера партии;
Затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хранения носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный период прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количеству заказов за этот период.
3) потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за неудовлетворение потребности потребителей по причине отсутствия запасов . Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность дефицита - это ожидаемая относительная частота случаев нехватки товарной продукции в течение более или менее продолжительного интервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное отделения числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.
Имитационное моделирование. Все описанные выше модели подразумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они - заменители реальности. Тем не менее как метод моделирования имитация конкретно обозначает процесс создания модели и ее экспериментальное применение для определения изменений реальной ситуации. Аэродинамическая труба - пример физически осязаемой ими-тационной модели, используемой для проверки характеристик разрабатываемых самолетов и автомобилей. Специалисты по производству и финансам могут разработать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибылей в результате применения новой технологии или изменения состава рабочей силы. Специалист по маркетингу может создать модели для имитации ожидаемого объема сбыта в связи с изменением цен или рекламы продукции.
Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью математического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности.
Итак, имитация - это часто весьма практичный способ подстановки модели на место реальной системы или натурного прототипа. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в случае если отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности. Если результаты экспериментирования с использованием имитационной модели свидетельствуют о том, что модификация ведет к улучшению, руководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменений в реальной системе.
Экономический анализ. Почти все руководители воспринимают ими-тацию как метод моделирования. Однако многие из них никогда не думали, что экономический анализ - очевидно, наиболее распространенный метод - это тоже одна из форм построения модели. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точки, в которой предприятие становится прибыльным.
Тонка безубыточности (break-even point - ВЕР) - ситуация, при которой общий доход (total revenue - TR ) становится равным суммарным издержкам (total costs - ТС). Для определения ВЕР необходимо учесть три основных фактора:
Продажную цену единицы продукции (unit price - Р) - доход фирмы от продажи каждой единицы товаров или услуг. Издательская компания, к примеру, получает 80 % от розничной цены книги. Таким образом, при продаже одной книги за 10 долл. Р составит 8 долл.;
Переменные издержки на единицу продукции (variable costs - VС) - фактические расходы, прямо относимые на изготовление каждой единицы продукции. Применительно к изготовлению книги это будут расходы на бумагу, обложку, услуги типографии, изготовление переплета и сбыт, а также выплата авторского гонорара. Естественно, совокупные переменные издержки растут с ростом объема производства;
Общие постоянные издержки на единицу продукции (total fixed costs - ТFС) - те издержки, которые, по меньшей мере, в ближайшей перспективе, остаются неизменными независимо от объема производства. Основные составляющие совокупных постоянных издержек издательской компании - расходы на редактирование, оформление и набор. Кроме того, часть управленческих расходов, расходы на страхование и налоги, аренду помещения и амортизационные отчисления переводятся в постоянные издержки в соответствии с формулой, установленной руководством. В нашем примере предположим, что постоянные издержки, связанные с производством книги, равны 200 тыс. долл.
Продажная цена за вычетом переменных издержек обозначает вклад в прибыль на единицу проданной продукции. При продажной цене книги 10 долл. и переменных издержках 6 долл. вклад составит 4 долл. Этот расчет позволяет руководству установить, сколько книг нужно продать, чтобы покрыть постоянные издержки в сумме 200 тыс. долл. Разделив 200 тыс. на 4, мы получим 50 тыс., т.е. именно столько книг необходимо продать, чтобы проект был рентабельным. В форме уравнения безубыточность выражается следующим образом:
Используя формулу, мы получим на базе тех же данных те же результаты, как и при простом подсчете:
P = 10 долл.;
VC = 6 долл.;
TFC = 200 000 долл.;
BEP = ТFС/(Р- VC) = 200 000/4 = 50 000 книг.
Вычисление точки безубыточности, будучи сравнительно простой операцией, дает значительный объем полезной информации. Соотнося величину ВЕР иоценку объема продажи, получаемую методами анализа рынка, руководитель в состоянии сразу увидеть, будет ли проект прибыльным, как запланировано, и каков примерный уровень риска. Если анализ издательского рынка показал, что потенциал сбыта составляет 80 000 экземпляров, это значит, что издание будет прибыльным и сопряжено с относительно малым риском. Намерение продать всего, к примеру, 35 000 книг было бы весьма рискованным.
Легко можно также установить, как влияет на прибыль изменение одной или большего числа переменных. Например, издатель увеличивает Р с 1 до 11 долл., ВЕР должна снизиться до 40 000 книг, что должно произойти и при соответствующем изменении величины VC. Таким образом, анализ безубыточности помогает выявить альтернативные подходы, которые были бы более привлекательными для фирмы. Например, рынок сбыта научных книг гораздо уже, чем, скажем, рынок учебников по вводным курсам, поэтому издатели вынуждены выплачивать менее высокие гонорары авторам научных книг и отказываться от второго цвета при печати. Такой подход позволяет вдвое снизить общие издержки по сравнению с учебниками по вводным курсам. Отметим, однако, что в результате внешний вид книги ухудшается, а это может заставить потенциальных потребителей обратиться к продукции конкурента, в результате чего сбыт упадет ниже точки безубыточности.
Получив результаты по сбыту и данные по фактическим издержкам, руководство может вернуться к модели безубыточности для контрольной оценки. Если фактические значения постоянных и переменных издержек превышают те, что использованы для расчета точки безубыточности, это свидетельствует о необходимости корректирующих действий. Зачастую эти действия должны сводиться к новому анализу основы расчета. Как любые другие прогнозы и планы, те, что использованы в анализе безубыточности, могут быть ошибочными, и зачастую по причинам, не находящимся под контролем руководителя. К примеру, в начале 1970-х гг. многие издатели столкнулись с уменьшением прибыли в силу внезапного скачка цен на бумагу, который невозможно было полностью переложить на потребителей.
Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно рассчитать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответствующие издержки удается определить.
Другие модели экономического анализа применяются для определения прибыли относительно инвестированного капитала, определения величины чистой прибыли, которую имеет в данный период фирма, и дивидендов на одну акцию внутри фирмы. Эти модели рассматриваются в курсах по финансам и бухгалтерскому учету .
Оптимальное линейное программирование. Необходимое условие оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) - гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).
Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение = (x 1 ,x 2 ,…,x n), где x j , (j = ) - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности - «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.
Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D ; эту область называют также областью определения задачи.
Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности - значит решить экстремальную задачу вида:
где- математическая запись критерия оптимальности - целевая функция. Задачу условной оптимизации обычно записывают таким образом: _
Найти максимум или минимум функции f = f (x 1 ,x 2 ,..., х п) при ограничениях:
Последнее условие необязательно, но его при необходимости всегда можно добиться. Обозначение {≤, =, ≥} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: ≤, =, ≥. Используется более компактная запись:
Такова общая задача оптимального (математического) программирования, т.е. математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.
Вектор (набор управляющих переменных x j , j = называется допустимым решением, или планом задачи оптимального йрограм-мирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который составляет максимум или минимум целевой функции f (x 1 ,x 2 ,..., х п) называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования .
Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.
IDEF-технологии моделирования . Своим появлением семейство стандартов IDEF (Integrated Defenition - интегрированное определение) во многом обязано появившейся в 1980-х гг. технологии автоматизации разработки информационных систем CASE (Computer Aided Software Engineering). До настоящего времени эта технология с успехом применяется при разработке разнообразного программного обеспечения. Однако в последнее время CASE-технологии приобретают все большее распространение для моделирования и анализа деятельности предприятий, предоставляя богатый набор возможностей для оптимизации, или, в терминах CASE, реинжиниринга, технологических процедур, выполняемых этими предприятиями, - бизнес-процессов.
IDEF0, ранее известный как технология структурированного анализа и разработки SADT (Structured Analysis Design Technique - технология структурного анализа и моделирования), был разработан компанией «SofTech, Inc.» в конце 1960-х гг. и представлял собой набор рекомендаций по построению сложных систем, которые предполагали взаимодействие механизмов и обслуживающего персонала. Подход SADT относится к классу формальных методов, используемых при анализе и разработке систем .
В настоящее время используются методики функционального, информационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные в табл. 3.4.
Удобные средства визуального представления информации, описанные в стандартах семейства IDEF, могут применяться как для описания деятельности произвольной компании, так и для принятия обоснованных решений в сфере реинжиниринга бизнес-процессов - оптимизации функционирования компании на рынке.
Популярное
- Огэ английский язык тренировочные тесты
- Как подготовиться к УЗИ почек: полезные советы
- К чему снится тюлень мужчинам, женщинам и детям?
- Вкусные крабовые салаты с грибами и кукурузой Крабовый салат с грибами и сыром
- Салат с курицей и огурцом
- Похищение человека видеть во сне
- Молитвы о примирении враждующих после сильной ссоры супругов, родственников, друзей
- «Пошли в лобовую атаку»: как конгресс заставил Дональда Трампа подписать закон о санкциях против России
- Существовал ил на самом деле пророк Даниил?
- БГУ. История БГУ. Белорусский государственный университет Легко ли учиться в БГУ