1.1.Масштабы карт

Масштаб карты показывает, во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Он выражается в виде отношения двух чисел. Например, масштаб 1:50 000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50000 раз, т. е. 1 см на карте соответствует 50000 см (или 500 м) на местности.

Рис. 1. Оформление численного и линейного масштабов на топографических картах и планах городов

Масштаб указывается под нижней стороной рамки карты в цифровом выражении (численный масштаб) и в виде прямой линии (линейный масштаб), на отрезках которой подписаны соответствующие им расстояния на местности (рис. 1). Здесь же указывается и величина масштаба - расстояние в метрах (или километрах) на местности, соответствующее одному сантиметру на карте.

Полезно запомнить правило: если в правой части отношения зачеркнуть два последних нуля, то оставшееся число покажет, сколько метров на местности соответствует 1 см на карте, т. е. величину масштаба.

При сравнении нескольких масштабов более крупным будет тот, у которого число в правой части отношения меньше. Допустим, что на один и тот же участок местности имеются карты масштабов 1:25000, 1:50000 и 1:100000. Из них масштаб 1:25000 будет самым крупным, а масштаб 1:100 000-самым мелким.
Чем крупнее масштаб карты, тем подробнее на ней изображена местность. С уменьшением масштаба карты уменьшается и количество наносимых на нее деталей местности

Подробность изображения местности на топографических картах зависит от ее характера: чем меньше деталей содержит местность, тем полнее они отображаются на картах более мелких масштабов.

В нашей стране и многих других странах в качестве основных масштабов топографических карт приняты: 1:10000, 1:25000, 1: 50000, 1: 100000, 1: 200000, 1: 500000 и 1:1000000.

Используемые в войсках карты подразделяются на крупномасштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные.

Масштаб карты	Наименование карты	Классификация карт
		по масштабам	по основному назначению
1:10 000 (в 1 см 100 м)	десятитысячная	крупномасштабные	тактические
1:25 000 (в 1 см 250 м)	двадцатипятитысячная
1:50 000 (в 1 см 500 м)	пятитысячная
1:100 000 (в 1 см 1 км)	стотысячная	среднемасштабные
1:200 000 (в 1 см 2 км)	двухсоттысячная		оперативные
1:500 000 (в 1 см 5 км)	пятисоттысячная	мелкомасштабные
1:1 000 000 (в 1 см 10 км)	миллионная

1.2. Измерение по карте прямых и извилистых линий

Чтобы определить по карте расстояние между точками местности (предметами, объектами), пользуясь численным масштабом, надо измерить на карте расстояние между этими точками в сантиметрах и умножить полученное число на величину масштаба.

Пример, на карте масштаба 1:25000 измеряем линейкой расстояние между мостом и ветряной мельницей (рис. 2); оно равно 7,3 см, умножаем 250 м на 7,3 и получаем искомое расстояние; оно равно 1825 метров (250х7,3=1825).

Рис. 2. Определить по карте расстояние между точками местности с помощью линейки.

Небольшое расстояние между двумя точками по прямой линии проще определить, пользуясь линейным масштабом (рис. 3). Для этого достаточно циркуль-измеритель, раствор которого равен расстоянию между заданными точками на карте, приложить к линейному масштабу и снять отсчет в метрах или километрах. На рис. 3 измеренное расстояние равно 1070 м.

Рис. 3. Измерение на карте расстояний циркулем-измерителем по линейному масштабу

Рис. 4. Измерение на карте расстояний циркулем-измерителем по извилистым линиям

Большие расстояния между точками по прямым линиям измеряют обычно с помощью длинной линейки или циркуля-измерителя.

В первом случае для определения расстояния по карте с помощью линейки пользуются численным масштабом (см. рис. 2).

Во втором случае раствор «шаг» циркуля-измерителя устанавливают так, чтобы он соответствовал целому числу километров, и на измеряемом по карте отрезке откладывают целое число «шагов». Расстояние, не укладывающееся в целое число «шагов» циркуля-измерителя, определяют с помощью линейного масштаба и прибавляют к полученному числу километров.

Таким же способом измеряют расстояния по извилистым линиям (рис. 4). В этом случае «шаг» циркуля-измерителя следует брать 0,5 или 1 см в зависимости от длины и степени извилистости измеряемой линии.

Рис. 5. Измерения расстояния курвиметром

Для определения длины маршрута по карте применяют специальный прибор, называемый курвиметром (рис. 5), который особенно удобен для измерения извилистых и длинных линий.

В приборе имеется колесико, которое соединено системой передач со стрелкой.

При измерении расстояния курвиметром нужно установить его стрелку на деление 99. Держа курвиметр в вертикальном положении вести его по измеряемой линии, не отрывая от карты вдоль маршрута так, чтобы показания шкалы возрастали. Доведя до конечной точки, отсчитать измеренное расстояние и умножить его на знаменатель численного масштаба. (В данном примере 34х25000=850000, или 8500 м)

1.3. Точность измерения расстояний по карте. Поправки на расстояние за наклон и извилистость линий

Точность определения расстояний по карте зависит от масштаба карты, характера измеряемых линий (прямые, извилистые), выбранного способа измерения, рельефа местности и других факторов.

Наиболее точно определить расстояние по карте можно по прямой линии.

При измерении расстояний с помощью циркуля-измерителя или линейкой с миллиметровыми делениями средняя величина ошибки измерения на равнинных участках местности обычно не превышает 0,7-1 мм в масштабе карты, что составляет для карты масштаба 1:25000 - 17,5-25 м, масштаба 1:50000 – 35-50 м, масштаба 1:100000 – 70-100 м.

В горных районах при большой крутизне скатов ошибки будут больше. Это объясняется тем, что при съемке местности на карту наносят не длину линий на поверхности Земли, а длину проекций этих линий на плоскость.

Например, При крутизне ската 20° (рис. 6) и расстоянии на местности 2120 м его проекция на плоскость (расстояние на карте) составляет 2000 м, т. е. на 120 м меньше.

Подсчитано, что при угле наклона (крутизне ската) 20° полученный результат измерения расстояния по карте следует увеличивать на 6% (на 100 м прибавлять 6 м), при угле наклона 30° - на 15%, а при угле 40° - на 23%.

Рис. 6. Проекция длины ската на плоскость (карту)

При определении длины маршрута по карте следует учитывать, что расстояния по дорогам, измеренные на карте с помощью циркуля или курвиметра, в большинстве случаев получаются короче действительных расстояний.

Это объясняется не только наличием спусков и подъемов на дорогах, но и некоторым обобщением извилин дорог на картах.

Поэтому получаемый по карте результат измерения длины маршрута следует с учетом характера местности и масштаба карты умножить на коэффициент, указанный в таблице.

1.4. Простейшие способы измерения площадей по карте

Приближенную оценку размеров площадей производят на глаз по квадратам километровой сетки, имеющейся на карте. Каждому квадрату сетки карт масштабов 1:10000 - 1:50000 на местности соответствует 1 км2 , квадрату сетки карт масштаба 1: 100000 - 4 км2, квадрату сетки карт масштаба 1:200000 - 16 км2.

Более точно площади измеряют палеткой , представляющей собой лист прозрачного пластика с нанесенной на него сеткой квадратов со стороной 10 мм (в зависимости от масштаба карты и необходимой точности измерений).

Наложив такую палетку на измеряемый объект на карте, подсчитывают по ней сначала число квадратов, полностью укладывающихся внутри контура объекта, а затем число квадратов пересекаемых контуром объекта. Каждый из неполных квадратов принимаем за половину квадрата. В результате перемножения площади одного квадрата на сумму квадратов получают площадь объекта.

По квадратам масштабов 1:25000 и 1:50000 площади небольших участков удобно измерять офицерской линейкой, имеющей специальные вырезы прямоугольной формы. Площади этих прямоугольников {в гектарах) указаны на линейке для каждого масштаба гарты.

2. Азимуты и дирекционный угол. Магнитное склонение, сближение меридианов и поправка направления

Истинный азимут (Аи) - горизонтальный угол, измеряемый по ходу часовой стрелки от 0° до 360° между северным направлением истинного меридиана данной точки и направлением на объект (см. рис. 7).

Магнитный азимут (Ам) - горизонтальный угол, измеряемый по ходу часовой стрелки от 0е до 360° между северным направлением магнитного меридиана данной точки и направлением на объект.

Дирекционный угол (α; ДУ) - горизонтальный угол, измеряемый по ходу часовой стрелки от 0° до 360° между северным направлением вертикальной линии координатной сетки данной точки и направлением на объект.

Магнитное склонение (δ; Ск) - угол между северным направлением истинного и магнитного меридианов в данной точке.

Если магнитная стрелка отклоняется от истинного меридиана к востоку, то склонение восточное (учитывается со знаком +), при отклонении магнитной стрелки к западу - западное (учитывается со знаком -).

Рис. 7. Углы, направления и их взаимосвязь на карте

Сближение меридианов (γ; Сб) - угол между северным направлением истинного меридиана и вертикальной линией координатной сетки в данной точке. При отклонении линии сетки к востоку – сближение меридиана восточное (учитывается со знаком +), при отклонении линии сетки к западу - западное (учитывается со знаком -).

Поправка направления (ПН) - угол между северным направлением вертикальной линии координатной сетки и направлением магнитного меридиана. Она равна алгебраической разности магнитного склонения и сближения меридианов:

3. Измерение и построение дирекционных углов на карте. Переход от дирекционного угла к магнитному азимуту и обратно

На местности при помощи компаса (буссоли) измеряют магнитные азимуты направлений, от которых затем переходят к дирекционным углам.

На карте наоборот, измеряют дирекционные углы и от них переходят к магнитным азимутам направлений на местности.

Рис. 8. Изменение дирекционных угловна карте транспортиром

Дирекционные углы на карте измеряются транспортиром или хордоугломером.

Измерение дирекционных углов транспортиром производят в следующей последовательности:

• ориентир, на который измеряют дирекционный угол, соединяют прямой линией с точкой стояния так, чтобы эта прямая была больше радиуса транспортира и пересекала хотя бы одну вертикальную линию координатной сетки;
• совмещают центр транспортира с точкой пересечения, как показано на рис. 8 и отсчитывают по транспортиру значение дирекционного угла. В нашем примере дирекционный угол с точкой А на точку В равен 274° (рис. 8, а), а с точки А на точку С – 65° (рис. 8, б).

На практике часто возникает необходимость в определении магнитного АМ по известному дирекционному углу ά , или, наоборот, угла ά no известному магнитному азимуту.

Переход от дирекционного угла к магнитному азимуту и обратно

Переход от дирекционного угла к магнитному азимуту и обратно выполняют тогда, когда на местности необходимо с помощью компаса (буссоли) найти направление, дирекционный угол которого измерен по карте, или наоборот, когда на карту необходимо нанести направление, магнитный азимут которого измерен, на местности с помощью компаса.

Для решения этой задачи необходимо знать величину отклонения магнитного меридиана данной точки от вертикальной километровой линии. Эту величину называют поправкой направления (ПН).

Рис. 10. Определение поправки для перехода от дирекционного угла к магнитному азимуту и обратно

Поправка направления и составляющие ее углы - сближение меридианов и магнитное склонение указываются на карте под южной стороной рамки в виде схемы, имеющей вид, показанный на рис. 9.

Сближение меридианов (g) - угол между истинным меридианом точки и вертикальной километровой линией зависит от удаления этой точки от осевого меридиана зоны и может иметь значение от 0 до ±3°. На схеме показывают среднее для данного листа карты сближение меридианов.

Магнитное склонение (d) - угол между истинным и магнитным меридианами указан на схеме на год съемки (обновления) карты. В тексте, помещаемом рядом со схемой, приводятся сведения о направлении и величине годового изменения магнитного склонения.

Чтобы избежать ошибок в определении величины и знака поправки направления, рекомендуется следующий прием.

Из вершины углов на схеме (рис. 10) провести произвольное направление ОМ и обозначить дужками дирекционный угол ά и магнитный азимут Ам этого направления. Тогда сразу будет видно, каковы величина и знак поправки направления.

Если, например, ά = 97°12", то Ам = 97°12" - (2°10"+10°15") = 84°47" .

4. Подготовка по карте данных для движения по азимутам

Движение по азимутам – это основной способ ориентирования на местности, бедной ориентирами, особенно ночью и при ограниченной видимости.

Сущность его заключается в выдерживании на местности направлений, заданных магнитными азимутами, и расстояний, определенных по карте между поворотными пунктами намеченного маршрута. Направления движения выдерживают с помощью компаса, расстояния измеряют шагами или по спидометру.

Исходные данные для движения по азимутам (магнитные азимуты и расстояния) определяют по карте, а время движения – по нормативу и оформляют в виде схемы (рис. 11) или вписывают в таблицу (табл. 1). Данные в таком виде выдают командирам, которые не имеют топографических карт. Если командир имеет свою рабочую карту, то исходные данные для движения по азимутам он оформляет непосредственно на рабочей карте.

Рис. 11. Схема для движения по азимуту

Маршрут движения по азимутам выбирают с учетом проходимости местности, ее защитных и маскировочных свойств, чтобы он обеспечивал в боевой обстановке быстрый и скрытный выход к указанному пункту.

В маршрут обычно включают дороги, просеки и другие линейные ориентиры, которые облегчают выдерживание направления движения. Поворотные пункты выбирают у ориентиров, легко опознаваемых на местности (например, постройки башенного типа, перекрестки дорог, мосты, путепроводы, геодезические пункты и т. п.).

Опытным путем установлено, что расстояния между ориентирами на поворотных пунктах маршрута не должны превышать 1 км при движении днем в пешем порядке, а при движении на машине – 6–10 км.

Для движения ночью ориентиры намечаются по маршруту чаще.

Чтобы обеспечить скрытный выход к указанному пункту, маршрут намечают по лощинам, массивам растительности и другим объектам, обеспечивающим маскировку движения. Необходимо избегать передвижений по гребням возвышенностей и открытым участкам.

Расстояния между выбранными на маршруте движения ориентирами на поворотных пунктах измеряют по прямым линиям с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба или возможно точнее – линейкой с миллиметровыми делениями. Если маршрут намечен по холмистой (горной) местности, то в измеренные по карте расстояния вводят поправку за рельеф.

Таблица 1

5. Выполнение нормативов

№ норм.	Наименование норматива	Условия (порядок) выполнения норматива	Категория обучаемых	Оценка по времени
				«отл.»	«хор.»	«уд.»
1	Определение направления (азимута) на местности	Дан азимут направления (ориентир). Указать направление, соответствующее заданному азимуту на местности, или определить азимут на указанный ориентир. Время на выполнение норматива отсчитывается от постановки задачи до доклада о направлении (значении азимута). Выполнение норматива оценивается «неудовлетворительно», если ошибка в определении направления (азимута) превышает 3° (0-50).	Военнослужащий	40 с	45 с	55 с
5	Подготовка данных для движения по азимутам	На карте М 1:50000 указаны два пункта на расстоянии не менее 4 км. Изучить по карте местность, наметить маршрут движения, выбрать не менее трех промежуточных ориентиров, определить дирекционные углы и расстояния между ними. Оформить схему (таблицу) данных для движения по азимутам (дирекционные углы перевести в магнитные азимуты, а расстояния – в пары шагов). Ошибки, снижающие оценку до «неудовлетворительно»: ошибка в определении дирекционного угла превышает 2°; ошибка в измерении расстояния превышает 0,5 мм в масштабе карты; не учтены или неправильно введены поправки на сближение меридианов и склонение магнитной стрелки. Время на выполнение норматива отсчитывается от момента выдачи карты до представления схемы (таблицы).	Офицеры	8 мин	9 мин	11 мин

При создании топографических карт, спроецированные на уровенную поверхность линейные размеры всех объектов местности уменьшают в определенное количество раз. Степень такого уменьшения называется масштабом карты. Масштаб карты может быть выражен в численной форме (численный масштаб) или в графической (линейный, поперечный масштабы), в виде графика.

Расстояния по карте измеряют, пользуясь обычно численным или линейным масштабом. Более точные измерения выполняются с помощью поперечного масштаба.

На шкале линейного масштаба оцифрованы отрезки, соответствующие расстояниям на местности в метрах или километрах. Это облегчает процесс измерения расстояний, так как не требуется производить вычисления.

Определение по карте расстояний и площадей. Измерение расстояний.

При пользовании численным масштабом расстояние, измеренное на карте в сантиметрах, умножают на знаменатель численного масштаба в метрах.

Например, расстояние от пункта ГГС отм. 174,3 (кв. 3909) до развилки дорог (кв. 4314) на карте составляет 13,96 см, на местности оно будет: 13,96 х 500 = 6980 м. (карта масштаба 1: 50 000 У-34-85-А).

Если расстояние, измеренное на местности надо отложить на карте, то его надо разделить на знаменатель численного масштаба. Например, расстояние, измеренное на местности, равно 1550 м., на карте масштаба 1: 50 000 оно будет 3,1 см.

Измерения по линейному масштабу выполняют с помощью циркуля-измерителя. Раствором циркуля соединяют две контурные точки на карте, между которым надо определить расстояние, затем прикладывают к линейному масштабу и получают расстояние на местности. Криволинейные участки определяют по частям или при помощи курвиметра.

В практике наиболее часто применяют численный, линейный и поперечный масштабы.

Численный масштаб обозначается в виде дроби:

1: М = 1: 25 000.

Например, 1: М = 1: 25 000 означает, что расстояние, равное 1 см на карте, соответствует 250 м горизонтального проложения линии на местности. При этом М – это знаменатель численного масштаба. Знаменатель численного масштаба показывает степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности, при этом чем больше знаменатель масштаба, тем мельче масштаб.

Точность масштаба t . На карте можно различить невооруженным глазом отрезок длиной не менее 0,1 мм. В соответствии с этим точность масштаба определяется как горизонтальное проложение линии местности, соответствующее расстоянию в 0,1 мм на карте данного масштаба. Например, для масштаба 1: 5 000 точность составляет 0,5 м (t = 0,5 м); для масштаба 1: 10 000 – t = 1 м.

Масштаб используется для измерения длин линий на карте и для построения на карте линии, длина которой на местности известна.

Пример 1 . Надо отложить на карте масштаба 1: 10 000 по заданному направлению горизонтальное проложение S = 346 м.

Из определения следует, что длина отрезка на карте найдется из соотношения:

D = 346: 10 000 = 3,46 см.

Пример 2 . На карте масштаба 1: 10 000 измерена длина линии d = 2,17 см, длина этой линии на местности будет равна:

S = d · M (1.2)

S = 2,17 · 10 000 = 217 м.

Работа с численным масштабом требует вычислений.

Поэтому во избежание значительных работ по вычислениям, применяют графические масштабы – линейный и поперечный.

Линейный масштаб строится следующим образом. На прямой линии откладываются несколько отрезков [а] одинаковой длины, которые называются основанием линейного масштаба (рис. 1.16). Обычно основание принимается равным 2 см. Длина основания масштаба соответствует целому числу сотен метров на местности. Горизонтальное проложение линии местности, соответствующее основанию, называется ценой основания масштаба .

Например, для масштаба 1: М = 1: 5 000 цена основания масштаба при значении а = 2 см равна 100 м.

Конец первого отрезка подписывается знаком «0», а следующим придается оцифровка для определенного численного масштаба. Так, для 1: М = 1: 5 000 необходимо подписать 100, 200 м и т. д. Крайний слева отрезок от нулевого штриха основания масштаба делится на более мелкие части (обычно 10 или 20). Горизонтальное проложение линии местности, соответствующее наименьшему делению основания масштаба, называют ценой деления масштаба . На рис. 1.16 основание разделено на 10 делений, поэтому цена наименьшего деления составляет 10 м.

Для определения расстояния по линейному масштабу необходимо приложить ножки измерителя так, чтобы правая ножка измерителя попадала на штрих графика, обозначающий целое основание, а левая – находилась между малыми делениями Расстояние, измеренное по карте, на рис. 1.16 будет складываться из числа целых оснований и малых делений (Sизм = 200 + 5,8 · 10 = 258 м).

Точность линейного масштаба равна половине наименьшего деления основания поперечного масштаба.

Чтобы отложить на карте, например, 257 м, нужно одну ножку циркуля поставить на отрезке 200 м, а вторую разместить так, чтобы было 57 м, т. е. 5 малых делений и 0,7 деления (оценивается на глаз).

Поперечный масштаб является более точным, в отличие от линейного, который не обеспечивает достаточной точности. Поперечный масштаб создан для повышения точности отсчитывания долей основания.

Поперечный масштаб представляет собой систему взаимно-перпенди-кулярных линий, образующих номограмму длиной 12 или 20 см и высотой 3 см. Для измерений используются специальные масштабные линейки. Вертикальные линии проведены через расстояния, равные основанию масштаба. Номограмма разделена по высоте на равные m делений. Крайнее основание масштаба разделено по горизонтали на n равных частей. Кроме того, на номограмме отображаются трансверсали – наклонные линии, служащие для более точного измерения расстояний. Для масштаба 1: 25 000 с основанием равным АВ = 500 м при m = 10 и n = 10 наименьшее деление поперечного масштаба составит 5 м.

Для определения расстояний по поперечному масштабу измеритель укладывают так, чтобы правая ножка измерителя находилась на целом обозначении основания масштаба, и ее поднимают одновременно с левой ножкой до тех пор, пока последняя не пересечет трансверсаль. Измеряемая линия складывается из трех частей; первая равна количеству целых оснований масштаба; вторая – количеству целых малых делений (n) по крайнему основанию; третья часть определяется по количеству m делений.

Пример . На карте масштаба 1: 10 000 нужно отложить отрезок, равный 258,6 м. Определяем, что при а = 2 см наименьшее деление поперечного масштаба составит 2 м.

Тогда ножки циркуля должны быть расположены так, как показано на рис. 1.17.

1.2.2. Последовательность выполнения задания

1. Определить точность линейного масштаба.

Точность масштаба карты (плана) можно определить по формуле:

t = 0.1 мм · М, (1.4)

где М – знаменатель численного масштаба.

Начертить и зарисовать в соответствии с заданным численным масштабом поперечный масштаб.

2. Нанести на карту точки 1 и 2 по заданным прямоугольным координатам, точки 3 и 4 по заданным географическим координатам.

3. Определить географические координаты точек 1 и 2 и прямоугольные координаты точек 3 и 4.

4. Определить для точки 3 прямоугольные координаты в соседней зоне. Показать на чертеже, на сколько километров и с какой стороны от осевого меридиана она расположена.

5. Измерить расстояния в четырехугольнике 1-2-3-4 на карте (1-2, 2-3, 3-4, 4-1), пользуясь линейным и поперечным масштабами; результаты выразить в метрах и занести в табл. 1.1; объяснить полученные расхождения двух измерений одной и той же линии.

6. Дать описание ситуации на карте по маршруту в полосе шириной 4 см. Описание ситуации оформить в табл. 1.2.

Чтобы определить по карте расстояние между точками местности (предметами, объектами), пользуясь численным масштабом, надо измерить на карте расстояние между этими точками в сантиметрах и умножить полученное число на величину масштаба.

Например, на карте масштаба 1:50000 (величина масштаба 500 м.) расстояние между двумя ориентирами составляет 4,2 см. Следовательно, искомое расстояние между этими ориентирами на местности будет равно 4,2 * 500 = 2100 м.

Небольшое расстояние между двумя точками по прямой линии проще определить, пользуясь линейным масштабом. Для этого достаточно циркуль-измеритель, раствор которого равен расстоянию между заданными точками на карте, приложить к линейному масштабу и снять отсчет в метрах или километрах. На рис. измеренное расстояние равно 1250 м.

Большие расстояния между точками по прямым линиям измеряют обычно с помощью длинной линейки или циркуля-измерителя. В первом случае для определения расстояния по карте с помощью линейки пользуются численным масштабом. Во втором случае раствор («шаг») циркуля-измерителя устанавливают так, чтобы он соответствовал целому числу километров, и на измеряемом по карте отрезке откладывают целое число “шагов”. Расстояние, не укладывающееся в целое число “шагов” циркуля-измерителя, определяют с помощью линейного масштаба и прибавляют к полученному числу километров.

Таким же способом измеряют расстояния по извилистым линиям. В этом случае «шаг» циркуля-измерителя следует брать 0,5 или 1 см. в зависимости от длины и степени извилистости измеряемой линии.

Для определения длины маршрута по карте применяют специальный прибор, называемый курвиметром, который особенно удобен для измерения извилистых и длинных линий. В приборе имеется колесико, которое соединено системой передач со стрелкой.

При измерении расстояния курвиметром нужно установить его стрелку на нулевое деление, а затем прокатить колесико вдоль маршрута так, чтобы показания шкалы возрастали. Полученный отсчет в сантиметрах умножают на величину масштаба и получают расстояние на местности.

Для приближенного определения расстояний по карте используют имеющуюся на ней сетку квадратов (километровую сетку), величина сторон которых в масштабе карты равна целому числу километров (1, 2, 4), или определяют по карте на глаз расстояние между двумя заданными точками в сантиметрах и затем умножают его на величину масштаба.

Например, на карте масштаба 1:50000 между северной окраиной Снов и южной окраиной Каменогорск укладывается около 2,5 стороны сетки квадратов (около 5 см.). Зная, что на карте 1:50000 величина стороны квадрата равна 1 км., нетрудно установить, что искомое расстояние на местности будет составлять около 2,5 км.

Точность определения расстояний по карте зависит от масштаба карты, характера измеряемых линий (прямые, извилистые), выбранного способа измерения, рельефа местности и других факторов.

Наиболее точно определить расстояние по карте можно по прямой линии. При измерении расстояний с помощью циркуля-измерителя или линейкой с миллиметровыми делениями средняя величина ошибки измерения на равнинных участках местности обычно не превышает 0,7-1 мм. в масштабе карты, что составляет для карты масштаба 1:25000-17,5-25 м., масштаба 1:50000- 35-50 м., масштаба 1:100000-70-100 м. В горных районах при большой крутизне скатов ошибки будут больше. Это объясняется тем, что при съемке местности на карту наносят не длину линий на поверхности Земли, а длину проекций этих линий на плоскость. При крутизне ската 20°С и расстоянии на местности 2120 м. его проекция на плоскость (расстояние на карте) составляет 2000 м., т. е., на 120 м. меньше. Подсчитано, что при угле наклона (крутизне ската) 20°С полученный результат измерения расстояния по карте следует увеличивать на 6% (на 100 м. прибавлять 6 м.), при угле наклона 30°С - на 15%, а при угле 40°С - на 23%.

При определении длины маршрута по карте следует учитывать, что расстояния по дорогам, измеренные на карте с помощью циркуля или курвиметра, в большинстве случаев получаются короче действительных расстояний. Это объясняется не только наличием спусков и подъемов на дорогах, но и некоторым обобщением извилин дорог на картах. Поэтому получаемый по карте результат измерения длины маршрута следует с учетом характера местности и масштаба карты умножить на коэффициент, указанный в табл. 2.

Таблица 2:

Заключение

В заключении, можно сформулировать следующие выводы:

• 1. Топографическая карта - основной графический документ о местности, содержащий точное, подробное и наглядное изображение местных предметов и рельефа. На топографических картах местные предметы изображаются условными общепринятыми знаками, а рельеф - горизонталями; войско боевой топографический
• 2. Масштаб карты показывает, во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Он выражается в виде отношения двух чисел. Например, масштаб 1:50000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50000 раз, т. е., 1 см. на карте соответствует 50000 см. (или 500 м.) на местности;
• 3. На крупные населенные пункты и другие объекты, имеющие важное значение, могут создаваться топографические планы. Они являются разновидностью топографических карт и отличаются от них тем, что издаются отдельными листами, размеры которых определяются границами изображаемого участка местности. Планы имеют особенности в оформлении;
• 4. Чтобы определить по карте расстояние между точками местности (предметами, объектами), пользуясь численным масштабом, надо измерить на карте расстояние между этими точками в сантиметрах и умножить полученное число на величину масштаба;
• 5. Для определения длины маршрута по карте применяют специальный прибор, называемый курвиметром, который особенно удобен для измерения извилистых и длинных линий. В приборе имеется колесико, которое соединено системой передач со стрелкой. При измерении расстояния курвиметром нужно установить его стрелку на нулевое деление, а затем прокатить колесико вдоль маршрута так, чтобы показания шкалы возрастали. Полученный отсчет в сантиметрах умножают на величину масштаба и получают расстояние на местности;
• 6. Для приближенного определения расстояний по карте используют имеющуюся на ней сетку квадратов (километровую сетку), величина сторон которых в масштабе карты равна целому числу километров (1, 2, 4), или определяют по карте на глаз расстояние между двумя заданными точками в сантиметрах и затем умножают его на величину масштаба;
• 7. Точность определения расстояний по карте зависит от масштаба карты, характера измеряемых линий (прямые, извилистые), выбранного способа измерения, рельефа местности и других факторов.

ВВЕДЕНИЕ

Топографическая карта представляет собой уменьшенное обобщенное изображение местности, показывающее элементы с помощью системы условных знаков.
В соответствии с предъявляемыми требованиями топографические карты отличаются высокой геометрической точностью и географическим соответствием. Это обеспечивается их масштабом , геодезической основой, картографическими проекциями и системой условных знаков.
Геометрические свойства картографического изображения: размеры и форма участков, занятых географическими объектами, расстояния между отдельными пунктами, направления от одного к другому - определяются его математической основой. Математическая основа карт включает в качестве составных частей масштаб , геодезическую основу, и картографическую проекцию.
Что представляет собой масштаб карты, какие виды масштабов бывают, как построить графический масштаб и как пользоваться масштабами рассмотрим на лекции.

6.1. ВИДЫ МАСШТАБОВ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ

При составлении карт и планов горизонтальные проекции отрезков изображают на бумаге в уменьшенном виде. Степень такого уменьшения характеризуется масштабом.

Масштаб карты (плана) - отношение длины линии на карте (плане) к длине горизонтального проложения соответствующей линии местности

m = l К : d M

Масштаб изображения небольших участков на всей топографической карте практически постоянен.При небольших углах наклона физической поверхности (на равнине) длина горизонтальной проекции линии очень мало отличается от длины наклонной линии. В этих случаях можно считать масштабом длины отношение длины линии на карте к длине соответствующей линии на местности.

Масштаб указывается на картах в разных вариантах

6.1.1. Численный масштаб

Численный масштаб выражают в виде дроби с числителем равным 1 (аликвотная дробь).

Или

Знаменатель М численного масштаба показывает степень уменьшения длин линий на карте (плане) по отношению к длинам соответствующих линий на местности. Сравнивая между собой численные масштабы, более крупным называют тот, у которого знаменатель меньше .
Используя численный масштаб карты (плана), можно определить горизонтальное проложение dм линии на местности

Пример .
Масштаб карты 1:50 000. Длина отрезка на карте lК = 4,0 см. Определить горизонтальное проложение линии на местности.

Решение .
Умножив величину отрезка на карте в сантиметрах на знаменатель численного масштаба получаем горизонтальное проложение в сантиметрах.
d = 4,0 см × 50 000 = 200 000 см, или 2 000 м, или 2 км.

Обратите внимание на то, что численный масштаб есть величина отвлеченная, не имеющая конкретных единиц измерения. Если числитель дроби выразить в сантиметрах, то и знаменатель будет иметь те же единицы измерения, т.е. сантиметры.

Например , масштаб 1:25 000 означает, что 1 сантиметру карты соответствует 25 000 сантиметров местности, или 1 дюйм карты соответствует 25 000 дюймов местности.

Для удовлетворения потребностей хозяйства, науки и обороны страны необходимы карты различных масштабов. Для государственных топографических карт, лесоустроительных планшетов, планов лесничеств и лесонасаждений определены стандартные масштабы - масштабный ряд (табл. 6.1, 6.2).

Масштабный ряд топографических карт

Таблица 6.1.

Численный масштаб	Название карты	1 см карты соответствует на местности расстоянию	1 см2 карты соответствует на местности площади
	Пятитысячная		0,25 гектар
	Десятитысячная
	Двадцатипятитысячная		6,25 гектар
	Пятидесятитысячная
	Стотысячная
	Двухсоттысячная
	Пятисоттысячная
	Миллионная

Ранее этот ряд включал масштабы 1: 300 000, и 1: 2 000.

6.1.2. Именованный масштаб

Именованным масштабом называют словесное выражение численного масштаба. Под численным масштабом на топографической карте имеется надпись поясняющая, сколько метров или километров на местности соответствует одному сантиметру карты.

Например , на карте под численным масштабом 1:50 000 записано: «в 1 сантиметре 500 метров». Цифра 500 в данном примере есть величина именованного масштаба .
Используя именованный масштаб карты, можно определить горизонтальное проложение dм линии на местности. Для этого необходимо величину отрезка, измеренную на карте в сантиметрах, умножить на величину именованного масштаба.

Пример . Именованный масштаб карты - «в 1 сантиметре 2 километра». Длина отрезка на карте lК = 6,3 см. Определить горизонтальное проложение линии на местности.
Решение . Умножив величину отрезка измеренного на карте в сантиметрах на величину именованного масштаба, получаем горизонтальное проложение в километрах на местности.
d = 6,3 см × 2 = 12,6 км.

6.1.3. Графические масштабы

Чтобы избежать математических вычислений и ускорить работу на карте, пользуются графическими масштабами . Таких масштабов два: линейный и поперечный .

Линейный масштаб

Для построения линейного масштаба выбирают исходный отрезок, удобный для данного масштаба. Этот исходный отрезок (а ) называют основанием масштаба (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Линейный масштаб. Измеряемый отрезок на местности
будет CD = ED + CE = 1000 м + 200 м =1200 м.

Основание откладывают на прямой линии необходимое число раз, крайнее левое основание делят на части (отрезок b ), которые будут наименьшими делениями линейного масштаба . Расстояние на местности, которое соответствует наименьшему делению линейного масштаба, называют точностью линейного масштаба .

Порядок пользования линейным масштабом:

• правую ножку циркуля поставить на одно из делений справа от нуля, а левую ножку - на левое основание;
• длина линии состоит из двух отсчетов: отсчет целых оснований и отсчета делений левого основания (рис. 6.1).
• Если отрезок на карте длиннее построенного линейного масштаба, то его измеряют по частям.

Поперечный масштаб

Для более точных измерений пользуются поперечным масштабом (рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечный масштаб. Измеренное расстояние
PK = TK + PS + ST = 1 00 +10 + 7 = 117 м .

Для его построения на отрезке прямой линии откладывают несколько оснований масштаба (a ). Обычно длина основания составляет 2 см или 1 см. В полученных точках устанавливают перпендикуляры к линии АB и проводят через них десять параллельных линий через равные промежутки. Крайнее левое основание сверху и снизу делят на 10 равных отрезков и соединяют их косыми линиями. Нулевую точку нижнего основания соединяют с первой точкой С верхнего основания и так далее. Получают ряд параллельных наклонных линий, которые называют трансверсалями.
Наименьшее деление поперечного масштаба равно отрезку C 1 D 1 , (рис. 6. 2, а ). На такую длину отличается соседний параллельно расположенный отрезок при движении вверх по трансверсали 0С и по вертикальной линии 0Д .
Поперечный масштаб с основанием 2 см, называют нормальным . Если основание поперечного масштаба разделено на десять частей, то его называют сотенным . В сотенном масштабе цена наименьшего деления равна одной сотой доле основания.
Поперечный масштаб гравируют на металлических линейках, которые называют масштабными.

Порядок пользования поперечным масштабом:

• циркулем-измерителем зафиксировать длину линии на карте;
• правую ножку циркуля поставить на целое деление основания, а левую - на любую трансверсаль, при этом обе ножки циркуля должны располагаться на линии, параллельной линии AB ;
• длина линии состоит из трех отсчетов: отсчет целых оснований, плюс отсчет делений левого основания, плюс отсчет делений вверх по трансверсали.

Точность измерения длины линии с помощью поперечного масштаба оценивается половиной цены его наименьшего деления.

6.2. РАЗНОВИДНОСТИ ГРАФИЧЕСКИХ МАСШТАБОВ

6.2.1. Переходный масштаб

Иногда в практике приходится пользоваться картой или аэроснимком, масштаб которых не является стандартным. Например, 1:17 500, т.е. 1 см на карте соответствуют 175 м на местности. Если построить линейный масштаб с основанием 2 см, то наименьшее деление линейного масштаба при этом будет 35 м. Оцифровка такого масштаба вызывает трудности при производстве практических работ.
Чтобы упростить определение расстояний по топографической карте, поступают следующим образом. Основание линейного масштаба принимают не 2 см, а рассчитывают так, чтобы оно соответствовало круглом числу метров - 100, 200, и т.д..

Пример . Требуется рассчитать длину основания соответствующего 400 м для карты масштаба 1:17 500 (в одном сантиметре 175 метров).
Чтобы определить, какие размеры на карте масштаба 1:17 500 будет иметь отрезок длиной 400 м, составляем пропорции:
на местности на плане
175 м 1 см
400 м Х см
Х см = 400 м× 1 см / 175 м = 2,29 см.

Решив пропорцию, делаем вывод: основание переходного масштаба в сантиметрах равно величине отрезка на местности в метрах деленное на величину именованного масштаба в метрах. Длина основания в нашем случае
а = 400 / 175 = 2,29 см.

Если теперь построить поперечный масштаб с длиной основания а = 2,29 см, то одно деление левого основания будет соответствовать 40 м (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Переходный линейный масштаб.
Измеренное расстояние АС = ВС + АВ = 800 +160 = 960 м.

Для более точных измерений на картах и планах строят поперечный переходный масштаб.

6.2.2. Масштаб шагов

Используют этот масштаб для определения расстояний, измеренных шагами во время глазомерной съемки. Принцип построения и использования масштаба шагов подобен переходному масштабу. Основание масштаба шагов рассчитывают так, чтобы оно соответствовало круглому числу шагов (пар, троек) - 10, 50, 100 , 500.
Для расчета величины основания масштаба шагов необходимо определить масштаб съемки и рассчитать среднюю длину шага Шср .
Среднюю длину шага (пары шагов) рассчитывают по известному расстоянию, пройденному в прямом и обратном направлениях. Разделив известное расстояние на количество пройденных шагов, получают среднюю длину одного шага. При наклоне земной поверхности количество пройденных шагов в прямом и обратном направлениях будет разное. При движении в сторону повышения рельефа шаг будет короче, а в обратную сторону - длиннее.

Пример . Известное расстояние 100 м измерено шагами. В прямом направлении пройдено 137 шагов, а в обратном - 139 шагов. Рассчитать среднюю длину одного шага.
Решение . Всего пройдено: Σ м = 100 м + 100 м = 200 м. Сумма шагов составляет: Σ ш = 137 ш + 139 ш = 276 ш. Средняя длина одного шага составляет:

Шср = 200 / 276 = 0,72 м.

Удобно работать с линейным масштабом, когда масштабная линия размечена через 1 - 3 см, а деления подписаны круглым числом (10, 20, 50, 100). Очевидно, величина одного шага 0,72 м в любом масштабе будет иметь крайне малые значения. Для масштаба 1:2 000 отрезок на плане будет составлять 0,72 / 2 000 = 0,00036 м или 0,036 см. Десять шагов, в соответствующем масштабе, будут выражены отрезком 0,36 см. Наиболее удобным основанием для данных условий, по мнению автора, будет величина 50 шагов: 0,036 × 50 = 1,8 см.
Для тех, кто считает шаги парами, удобным основанием будет 20 пар шагов (40 шагов) 0,036 × 40 = 1,44 см.
Длину основания масштаба шагов можно также вычислить из пропорций или по формуле
а = (Шср × КШ ) / М
где: Шср - средняя величина одного шага в сантиметрах,
КШ - количество шагов в основании масштаба,
М - знаменатель масштаба.

Длина основания для 50 шагов в масштабе 1:2 000 с длиной одного шага равным 72 см будет составлять:
а = 72 × 50 / 2000 = 1,8 см.
Чтобы построить масштаб шагов для приведенного выше примера необходимо горизонтальную линию разделить на отрезки равные 1,8 см, а левое основание разделить на 5 или 10 равных частей.

Рис. 6.4. Масштаб шагов.
Измеренное расстояние АС = ВС + АВ = 100 + 20 = 120 ш.

6.3. ТОЧНОСТЬ МАСШТАБА

Точность масштаба (предельная точность масштаба) - это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом.
Например , для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м). Из приведенного примера следует, что если знаменатель численного масштаба разделить на 10 000, то получим предельную точность масштаба в метрах.
Например , для численного масштаба 1:5 000 предельная точность масштаба будет 5 000 / 10 000 = 0,5 м.

Точность масштаба позволяет решать две важные задачи:

• определение минимальных размеров объектов и предметов местности, которые изображаются в данном масштабе, и размеров объектов, которые в данном масштабе невозможно изобразить;
• установление масштаба, в котором следует создавать карту, чтобы на ней изобразились предметы и объекты местности с заранее определенными минимальными размерами.

Практически принимается, что длина отрезка на плане или карте может быть оценена с точностью 0,2 мм. Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее в данном масштабе 0,2 мм (0,02 см) на плане, называется графической точностью масштаба . Графическая точность определения расстояний на плане или карте может быть достигнута только при использовании поперечного масштаба .
Следует иметь в виду, что при измерениях на карте взаимного положения контуров точность определяется не графической точностью, а точностью самой карты, где ошибки могут составлять в среднем 0,5 мм вследствие влияния других, кроме графических, погрешностей.
Если учесть погрешность самой карты и погрешность измерений на карте, то можно сделать вывод, что графическая точность определения расстояний на карте в 5 - 7 хуже предельной точности масштаба, т. е. составляет 0,5 - 0,7 мм в масштабе карты.

6.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО МАСШТАБА КАРТЫ

В тех случаях, когда по какой-либо причине масштаб на карте отсутствует (например, обрезан при склейке), он может быть определен одним из следующих способов.

• По координатной сетке . Надо измерить расстояние на карте между линиями координатной сетки и определить, через какое количество километров проведены эти линии; тем самым определится и масштаб карты.

Например, координатные линии обозначены числами 28, 30, 32 и т. д. (по западной рамке) и 06, 08, 10 (по южной рамке). Ясно, что линии проведены через 2 км. Расстояние на карте между соседними линиями равно 2 см. Отсюда следует, что 2 см на карте соответствуют 2 км на местности, а 1 см на карте - 1 км на местности (именованный масштаб). Значит, масштаб карты будет 1:100 000 (в 1 сантиметре 1 километр).

• По номенклатуре листа карты. Система обозначений (номенклатура) листов карт для каждого масштаба вполне определенна, поэтому, зная систему обозначений, нетрудно узнать масштаб карты.

Лист карты масштаба 1:1 000 000 (миллионной) обозначается одной из букв латинского алфавита и одним из чисел от 1 до 60. Система обозначений карт более крупных масштабов имеет в своей основе номенклатуру листов миллионной карты и может быть представлена следующей схемой:

1:1 000 000 - N-37
1:500 000 - N-37-Б
1:200 000 - N-37-X
1:100 000 - N-37-117
1:50 000 - N-37-117-А
1:25 000 - N-37-117-А-г

В зависимости от местоположения листа карты, буквы и числа, составляющие его номенклатуру, будут различны, но порядок и количество букв и чисел в номенклатуре листа карты данного масштаба будут всегда одинаковы .
Таким образом, если карта имеет номенклатуру М-35-96, то, сравнив ее с приведенной схемой, можно сразу сказать, что масштаб этой карты будет 1:100 000.
Подробнее о номенклатуре карт см. Главу 8.

• По расстояниям между местными объектами. Если на карте имеются два объекта, расстояние между которыми на местности известно или может быть измерено, то для определения масштаба нужно число метров между этими предметами на местности разделить на число сантиметров между изображениями этих предметов на карте. В результате получим число метров в 1 см данной карты (именованный масштаб).

Например, известно, что расстояние от н.п. Кувечино до оз. Глубокое 5 км. Измерив это расстояние на карте, получили 4.8 см. Тогда
5000 м / 4,8 см = 1042 м в одном сантиметре.
Карты в масштабе 1:104 200 не издаются, поэтому производим округление. После округления будем иметь: 1 см карты соответствует 1 000 м местности, т. е. масштаб карты 1:100 000.
Если на карте имеется дорога с километровыми столбами, то масштаб удобнее всего определять, по расстоянию между ними.

• По размерам длины дуги одной минуты меридиана . Рамки топографических карт по меридианам и параллелям имеют деления в минутах дуги меридиана и параллели.

Одной минуте дуги меридиана (по восточной или западной рамке) соответствует на местности расстояние 1852 м (морская миля). Зная это, можно определить масштаб карты так же, как и по известному расстоянию между двумя объектами местности.
Например , минутный отрезок по меридиану на карте равен 1,8 см. Следовательно, в 1 см на карте будет 1852: 1,8 = 1 030 м. Произведя округление, получаем масштаб карты 1:100 000.
В наших вычислениях получены приближенные значения масштабов. Это произошло в силу приближенности взятых расстояний и неточности их измерения на карте.

6.5. ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЯ И ОТКЛАДЫВАНИЯ РАССТОЯНИЙ НА КАРТЕ

Для измерения расстояний по карте используют миллиметровую или масштабную линейку, циркуль-измеритель, а для измерения кривых линий - курвиметр.

6.5.1. Измерение расстояний миллиметровой линейкой

Миллиметровой линейкой измерить расстояние между заданными точками на карте с точностью 0,1 см. Полученное число сантиметров умножить на величину именованного масштаба. Для равнинной местности результат будет соответствовать расстоянию на местности в метрах или километрах.
Пример. На карте масштаба 1: 50 000 (в 1 см - 500 м ) расстояние между двумя точками равно 3,4 см . Определить расстояние между этими точками.
Решение . Именованный масштаб: в 1 см 500 м. Расстояние на местности между точками будет 3,4 × 500 = 1700 м .
При углах наклона земной поверхности более 10º необходимо ввести соответствующую поправку (см. далее).

6.5.2. Измерение расстояний циркулем-измерителем

При измерении расстояния по прямой линии иглы циркуля устанавливают на конечные точки, затем, не изменяя раствора циркуля, по линейному или поперечному масштабу отсчитывают расстояние. В том случае, когда раствор циркуля превышает длину линейного или поперечного масштаба, целое число километров определяется по квадратам координатной сетки, а остаток - обычным порядком по масштабу.

Рис. 6.5. Измерение расстояний циркулем-измерителем по линейному масштабу.

Для получения длины ломаной линии последовательно измеряют длину каждого ее звена, а затем суммируют их величины. Такие линии измеряют также наращиванием раствора циркуля.
Пример . Чтобы измерить длину ломаной АВС D (рис. 6.6, а ), ножки циркуля сначала ставят в точки А и В . Затем, вращая циркуль вокруг точки В . перемещают заднюю ножку из точки А в точку В ", лежащую на продолжении прямой ВС .
Переднюю ножку из точки В переносят в точку С . В результате получают раствор циркуля В"С =АВ +ВС . Переместив аналогичным образом заднюю ножку циркуля из точки В" в точку С" , а переднюю из С в D . получают раствор циркуля
С"D = В"С + СD, длину которого определяют с помощью поперечного или линейного масштаба.

Рис. 6.6. Измерение длины линии: а - ломаной ABCD; б - кривойA 1 B 1 C 1 ;
B"C" - вспомогательные точки

Длинные кривые отрезки измеряют по хордам шагами циркуля (см. рис. 6.6, б). Шаг циркуля, равный целому числу сотен или десятков метров, устанавливают с помощью поперечного или линейного масштаба. При перестановке ножек циркуля вдоль измеряемой линии в направлениях, показанных на рис. 6.6, б стрелками, считают шаги. Общая длина линии А 1 С 1 складывается из отрезка А 1 В 1 , равного величине шага, умноженной на число шагов, и остатка В 1 С 1 измеряемого по поперечному или линейному масштабу.

6.5.3. Измерение расстояний курвиметром

Кривые отрезки измеряют механическим (рис. 6.7) или электроннным (рис. 6.8) курвиметром.

Рис. 6.7. Курвиметр механический

Сначала, вращая колесико рукой, устанавливают стрелку на нулевое деление, затем прокатывают колесико по измеряемой линии. Отсчет на циферблате против конца стрелки (в сантиметрах) умножают на величину масштаба карты и получают расстояние на местности. Цифровой курвиметр (рис. 6.7.) - это высокоточный, удобный в использовании прибор. Курвиметр включает архитектурные и инженерные функции и имеет удобный дисплей для чтения информации. Этот прибор может обрабатывать метрические и англо-американские (футы, дюймы, и т.д.) значения, что позволяет работать с любыми картами и чертежами. Можно ввести наиболее часто используемый вид измерений, и прибор автоматически будет переводить масштабные измерения.

Рис. 6.8. Курвиметр цифровой (электронный)

Для повышения точности и надежности результатов рекомендуется все измерения проводить дважды - в прямом и обратном направлениях. В случае незначительных различий измеренных данных за конечный результат принимается среднее арифметическое значение измеренных величин.
Точность измерения расстояний указанными способами с применением линейного масштаба составляет 0,5 - 1,0 мм в масштабе карты. То же самое, но с применением поперечного масштаба составляет 0,2 - 0,3 мм на 10 см длины линии.

6.5.4. Пересчет горизонтального проложения в наклонную дальность

Следует помнить, что в результате измерения расстояний по картам, получают длины горизонтальных проекций линий (d), а не длины линий на земной поверхности (S) (рис. 6.9) .

Рис. 6.9. Наклонная дальность (S ) и горизонтальное проложение (d )

Действительное расстояние на наклонной поверхности можно вычислить по формуле:

где d - длина горизонтальной проекции линии S;
v - угол наклона земной поверхности.

Длину линии на топографической поверхности можно определить с помощью таблицы (табл.6.3) относительных величин поправок к длине горизонтального проложения (в %).

Таблица 6.3

Угол наклона

Правила пользования таблицей

1. В первой строке таблицы (0 десятков) приведены относительные величины поправок при углах наклона от 0° до 9°, во второй - от 10° до 19°, в третьей - от 20° до 29°, в четвертой - от 30° до 39°.
2. Чтобы определить абсолютную величину поправки, необходимо:
а) в таблице по углу наклона найти относительную величину поправки (если угол наклона топографической поверхности задан не целым числом градусов, то надо относительную величину поправки найти интерполированием между табличными величинами);
б) вычислить абсолютную величину поправки к длине горизонтального проложения (т. е. эту длину умножить на относительную величину поправки и полученное произведение разделить на 100).
3. Чтобы определить длину линии на топографической поверхности, надо вычисленную абсолютную величину поправки прибавить к длине горизонтального проложения.

Пример. На топографической карте определена длина горизонтального проложения 1735 м, угол наклона топографической поверхности - 7°15′. В таблице относительные величины поправок приведены для целых градусов. Следовательно, для 7°15" необходимо определить ближайшую большую и ближайшую меньшую величины кратные одному градусу - 8º и 7º:
для 8° относительная величина поправки 0,98%;
для 7° 0,75%;
разность табличных величин в 1º (60′) 0,23%;
разность между заданным углом наклона земной поверхности 7°15" и ближайшей меньшей табличной величиной 7º составляет 15".
Составляем пропорции и находим относительную величину поправки для 15":

Для 60′ поправка составляет 0,23%;
Для 15′ поправка составляет х%
х% = = 0,0575 ≈ 0,06%

Относительная величина поправки для угла наклона 7°15"
0,75%+0,06% = 0,81%
Затем надо определить абсолютную величину поправки:
= 14,05 м приблизительно 14 м.
Длина наклонной линии на топографической поверхности будет:
1735 м + 14 м = 1749 м.

При малых углах наклона (менее 4° - 5°) разница в длине наклонной линии и ее горизонтальной проекции очень мала и может не учитываться.

6.6. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПО КАРТАМ

Определение площадей участков по топографическим картам основано на геометрической зависимости между площадью фигуры и ее линейными элементами. Масштаб площадей равен квадрату линейного масштаба.
Если стороны прямоугольника на карте уменьшены в n раз, то площадь этой фигуры уменьшится в n 2 раз.
Для карты масштаба 1:10 000 (в 1 см 100 м) масштаб площадей будет равен (1: 10 000) 2 или в 1 см 2 будет 100 м × 100 м = 10 000 м 2 или 1 га, а на карте масштаба 1:1 000 000 в 1 см 2 - 100 км 2 .

Для измерения площадей по картам применяют графические, аналитические и инструментальные способы. Применение того или иного способа измерений обусловлено формой измеряемого участка, заданной точностью результатов измерений, требуемой быстротой получения данных и наличием необходимых приборов.

6.6.1. Измерение площади участка с прямолинейными границами

При измерении площади участка с прямолинейными границами участок делят на простые геометрические фигуры, измеряют площадь каждой из них геометрическим способом и, суммируя площади отдельных участков, вычисленных с учетом масштаба карты, получают общую площадь объекта.

6.6.2. Измерение площади участка с криволинейным контуром

Объект с криволинейным контуром разбивают на геометрические фигуры, предварительно спрямив границы с таким расчетом, чтобы сумма отсеченных участков и сумма избытков взаимно компенсировали друг друга (рис. 6.10). Результаты измерений будут, в некоторой степени, приближенными.

Рис. 6.10. Спрямление криволинейных границ участка и
разбивка его площади на простые геометрические фигуры

6.6.3. Измерение площади участка со сложной конфигурацией

Измерение площадей участков, имеющих сложную неправильную конфигурацию, чаще производят с помощью палеток и планиметров, что дает наиболее точные результаты. Сеточная палетка представляет собой прозрачную пластину с сеткой квадратов (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Квадратная сеточная палетка

Палетку накладывают на измеряемый контур и по ней подсчитывают количество клеток и их частей, оказавшихся внутри контура. Доли неполных квадратов оцениваются на глаз, поэтому для повышения точности измерений применяются палетки с мелкими квадратами (со стороной 2 - 5 мм). Перед работой на данной карте определяют площадь одной ячейки.
Площадь участка рассчитывается по формуле:

Р = а 2 n ,

Где: а - сторона квадрата, выраженная в масштабе карты;
n - число квадратов, попавших в пределы контура измеряемого участка

Для повышения точности площадь определяют несколько раз с произвольной перестановкой используемой палетки в любое положение, в том числе и с поворотом относительно ее первоначального положения. За окончательное значение площади принимают среднее арифметическое из результатов измерений.

Помимо сеточных палеток, применяют точечные и параллельные палетки, представляющие собой прозрачные пластины с награвированными точками или линиями. Точки ставятся в одном из углов ячеек сеточной палетки с известной ценой деления, затем линии сетки удаляют (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Точечная палетка

Вес каждой точки равен цене деления палетки. Площадь измеряемого участка определяют путем подсчета количества точек, оказавшихся внутри контура, и умножают это количество на вес точки.
На параллельной палетке награвированы равноотстоящие параллельные прямые (рис. 6.13). Измеряемый участок, при наложении на него палетки, окажется разделенным на ряд трапеций с одинаковой высотой h . Отрезки параллельных линий внутри контура (посредине между линиями) являются средними линиями трапеций. Для определения площади участка с помощью этой палетки необходимо сумму всех измеренных средних линий умножить на расстояние между параллельными линиями палетки h (с учетом масштаба).

P = h∑l

Рис 6.13. Палетка, состоящая из системы
параллельных линий

Измерение площадей значительных участков производится по картам с помощью планиметра .

Рис. 6.14. Полярный планиметр

Планиметр служит для определения площадей механическим способом. Широкое распространение имеет полярный планиметр (рис. 6.14). Он состоит из двух рычагов - полюсного и обводного. Определение площади контура планиметром сводится к следующим действиям. Закрепив полюс и установив иглу обводного рычага в начальной точке контура, берут отсчет. Затем обводной шпиль осторожно ведут по контуру до начальной точки и берут второй отсчет. Разность отсчетов даст площадь контура в делениях планиметра. Зная абсолютную цену деления планиметра, определяют площадь контура.
Развитие техники способствует созданию новых приборов, повышающих производительность труда при вычислении площадей, в частности - использование современных приборов, среди которых - электронные планиметры.

Рис. 6.15. Электронный планиметр

6.6.4. Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин
(аналитический способ)

Данный способ позволяет определить площадь участка любой конфигурации, т.е. с любым числом вершин, координаты которых (х,y) известны. При этом нумерация вершин должна производиться по ходу часовой стрелки.
Как видно из рис. 6.16, площадь S многоугольника 1-2-3-4 можно рассматривать как разность площадей S" фигуры 1у-1-2-3-3у и S" фигуры 1y-1-4-3-3у
S = S" - S".

Рис. 6.16. К вычислению площади многоугольника по координатам.

В свою очередь каждая из площадей S" и S" представляет собой сумму площадей трапеций, параллельными сторонами которых являются абсциссы соответствующих вершин многоугольника, а высотами - разности ординат этих же вершин, т. е.

S" = пл. 1у-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S" = пл 1у-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
или: 2S" = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3 ) (у 3 - у 2)
2 S " = (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) + (х 4 + х 3) (у 3 - у 4).

Таким образом,
2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3 ) (у 3 - у 2) - (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) - (х 4 + х 3) (у 3 - у 4). Раскрыв скобки, получаем
2S = х 1 у 2 - х 1 у 4 + х 2 у 3 - x 2 у 1 + х 3 у 4 - х 3 у 2 +х 4 у 1 - х 4 у 3

Отсюда
2S = х 1 (у 2 - у 4) + х 2 (у 3 - у 1)+ х 3 (у 4 - у 2)+х 4 (у 1 - у 3 ) (6.1)
2S = y 1 (х 4 - х 2) + y 2 (х 1 - х 3)+ y 3 (х 2 - х 4 )+ y 4 (х 3 - х 1 ) (6.2)

Представим выражения (6.1) и (6.2) в общем виде, обозначив через i порядковый номер (i = 1, 2, ..., п) вершины многоугольника:
(6.3)
(6.4)
Следовательно, удвоенная площадь многоугольника равна либо сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей вершин многоугольника, либо сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и последующей вершин многоугольника.
Промежуточным контролем вычислений является удовлетворение условий:

0 или = 0
Значения координат и их разности обычно округляются до десятых долей метра, а произведения - до целых квадратных метров.
Сложные формулы по расчету площади участка можно легко решить с помощью электронных таблиц MicrosoftXL. Пример для многоугольника (полигона) из 5 точек приведен в таблицах 6.4, 6.5.
В таблицу 6.4 вводим исходные данные и формулы.

Таблица 6.4.

				y i (x i-1 - x i+1)
	Двойная площадь в м 2			СУММ(D2:D6)
	Площадь в гектарах

В таблице 6.5 видим результаты вычислений.

Таблица 6.5.

				y i (x i-1 -x i+1)
	Двойная площадь в м 2
	Площадь в гектарах

6.7. ГЛАЗОМЕРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ НА КАРТЕ

В практике картометрических работ широко используют глазомерные измерения, которые дают приблизительные результаты. Однако умение глазомерно определить по карте расстояния, направления, площади, крутизну склона и другие характеристики объектов способствует овладению навыками правильного понимания картографического изображения. Точность глазомерных определений повышается с приобретением опыта. Глазомерные навыки предупреждают грубые просчеты в измерениях приборами.
Для определения длины линейных объектов по карте следует глазомерно сравнить величину этих объектов с отрезками километровой сетки или делениями линейного масштаба.
Для определения площадей объектов как своеобразную палетку используют квадраты километровой сетки. Каждому квадрату сетки карт масштабов 1:10 000 - 1:50 000 на местности соответствует 1 км 2 (100 га), масштабу 1:100 000 - 4 км 2 , 1:200 000 - 16 км 2 .
Точность количественных определений по карте, с развитием глазомера, составляет 10-15% измеряемой величины.

Видео

Задачи на определение масштаба

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Какие элементы включает математическая основа карт?
2. Раскройте понятия: «масштаб», «горизонтальное проложение», «численный масштаб», «линейный масштаб», «точность масштаба», «основания масштаба».
3. Что представляет собой именованный масштаб карты и как им пользоваться?
4. Что представляет собой поперечный масштаб карты, для какой цели он предназначен?
5. Какой поперечный масштаб карты считают нормальным?
6. Какие масштабы топографических карт и лесоустроительных планшетов применяют в Украине?
7. Что представляет собой переходный масштаб карты?
8. Как рассчитывают основание переходного масштаба?
Предыдущая

Тема «Масштаб»

Материалы для подготовки к уроку

Т.В. КОНСТАНТИНОВА
канд. пед. наук, старший преподаватель
Е.А. КУЗНЕЦОВА
Калужский государственный педагогический университет
им. К.Э. Циолковского

Средства обучения

План местности (желательно, своей местности), физическая карта полушарий, физическая карта России, измерительные приборы (мерная лента, дальномер).

Термины и понятия

Масштаб (от немецкого - мера и Stab - палка) - отношение длины отрезка на карте, плане, аэро- или космическом снимке к его действительной длине на местности.
Численный масштаб - масштаб, выраженный в виде дроби, где числитель - единица, а знаменатель - число, показывающее во сколько раз уменьшено изображение.
Именованный (словесный) масштаб - вид масштаба, словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане, снимке .
Линейный масштаб - вспомогательная мерная линейка, наносимая на карты для облегчения измерения расстояний.

Географические науки и профессии географов

Геодезия (греческое - землеразделение) - наука, изучающая форму и размеры Земли, методы измерения расстояний, углов и высот на земной поверхности.
Топография (греческое - место и - пишу) - раздел геодезии, посвященный измерениям на местности для создания карт и планов.
Картография - наука о картах, их создании и использовании. Картография изучает также глобусы, планы и другие изображения земной поверхности, кроме того, карты и глобусы звездного неба, других планет.

Инструментарий географа

Циркуль-измеритель - инструмент для переноса размеров на чертежи. При работе с географическими картами применяется для определения расстояний между точками, отдельными участками карты.
Курвиметр - механический портативный прибор, предназначенный для измерения по картам длин извилистых линий. Он состоит из круглой коробки с циферблатом и стрелкой, маленького колесика внизу. Деления на шкале циферблата могут означать путь, проходимый колесиком по карте (в см), или показывать сразу расстояние на местности в зависимости от масштаба карты.
Дальномеры - приборы различного типа, служащие для определения расстояний без непосредственного измерения их мерной лентой или рулеткой.
Мерная лента - основной инструмент, служивший для измерения расстояний до изобретения дальномеров. Представляет собой стальную ленту, обычно длиной 20 м, закрепляемую на земле длинными (около 0,5 м) стальными шпильками.

Географическая номенклатура

Местные названия: населенного пункта, где проживают ученики, улиц, магазинов, образовательных учреждений, ближайших водоемов, различных местных форм рельефа и прочее.

Самостоятельная работа учащихся

Определение расстояний по картам с помощью масштаба

Цель работы: формирование умений работы с различными видами масштабов; формирование умений определять расстояния по картам с помощью масштаба.
Оборудование: атлас по географии для 6-го класса, курвиметр или нитка длиной около 20 см, рабочая тетрадь.

Задание 1. Переведите численный масштаб карты в именованный:

а) 1: 200 000
б) 1: 10 000 000
в) 1: 25 000

Правило для учащихся. Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе. Например, в масштабе 1: 500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.
Если после цифры в знаменателе пять и более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Пример для масштаба 1: 500 000. В знаменателе после цифры - пять нулей, закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.
Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Если, например, в знаменателе масштаба 1: 10 000 закроем два нуля, получим: в 1 см - 100 м.
Ответ: а) в 1 см - 2 км; б) в 1 см - 100 км; в) в 1 см - 250 м.

Задание 2. Переведите именованный масштаб в численный:

а) в 1 см - 500 м

б) в 1 см - 10 км

в) в 1 см - 250 км

Правило для учащихся. Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры. Если расстояние на местности выражено в метрах, чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.
Например, для именованного масштаба в 1 см - 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1: 10 000. Для масштаба в 1 см - 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1: 500 000.
Ответы: а) 1: 50 000; б) 1: 1 000 000; в) 1: 25 000 000.

Задание 3. Определите расстояние между пунктами по физической карте России в атласе 6-го класса:

а) Москва и Мурманск
б) гора Нaродная (Уральские горы) и гора Белуха (горы Алтай)
в) мыс Дежнева (Чукотский полуостров) и мыс Лопатка (полуостров Камчатка)

Правило для учащихся. При определении расстояния по карте между пунктами следует:
1. Измерить при помощи линейки расстояние в сантиметрах между пунктами. Например, расстояние между городами Москва и Астрахань на карте составляет 6,5 см.
2. Узнать по именованному масштабу, сколько километров (метров) на местности соответствует 1 см на карте.
(На физической карте России в географическом атласе 6-го класса 1 см на карте соответствует 200 км на местности.)
3. Измеренное линейкой расстояние между пунктами умножить на количество километров (метров) на местности для данного масштаба.

6,5 x 200 = 1300 км.

Ответы: а) 1460 км; б) 2240 км; в) 2500 км** .

Задание 4. Измерьте протяженность рек по физической карте России в атласе 6-го класса:

а) Ока;
б) река Урал;
в) Кама.

Измерения извилистых линий на карте (в данном случае рек) проводятся при помощи курвиметра либо нитки.
Как измерить длину реки при помощи нитки (правило для учащихся) .
1. Нитку нужно смочить, иначе уложить ее на бумагу трудно.
2. Приложить нитку к кривой линии (к реке - от истока до устья) так, чтобы она повторяла все изгибы реки.
3. Отметить на нитке (пальцами или пинцетами) точки истока и устья (можно аккуратно обрезать нитку ножницами по этим точкам).
4. Распрямить нитку, замеченный (или отрезанный) участок нитки приложить к линейке и измерить, сколько в нем сантиметров. Результат измерения умножить на количество километров на местности для данного масштаба. (Можно приложить нитку к линейному масштабу на карте и сразу прочитать длину реки.)
Ответы: а) примерно 920 км; б) примерно 1300 км; в) примерно 1200 км.
Обратите внимание. Точность измерений криволинейных участков невелика, поэтому ответы школьников могут несколько расходиться с ответами товарищей. Наверняка, результаты измерения ниткой по мелкомасштабной карте будут СИЛЬНО расходиться с теми длинами рек, что указаны в учебниках и справочниках. Настоящая длина Оки - 1500 км, Урала - 2400 км, Камы - 1800 км. Нужно непременно назвать ученикам эти цифры, чтобы в памяти не закрепились «топорные» цифры самостоятельного измерения (а они имеют большие шансы закрепиться именно потому, что получены самостоятельно). Нужно объяснить также, откуда берется такое расхождение: множество средних и малых поворотов, излучин реки мелкомасштабная карта не может отразить, все они «спрямлены». Это объяснение придется как нельзя кстати в теме «Масштаб»: оно облегчит понимание различий карт разного масштаба.

Цифры и факты

Масштабы топографических карт

Численный масштаб	Название карты	1 см на карте соответствует на местности расстоянию	1 см 2 на карте соответствует на местности площади
1: 5 000 1: 10 000 1: 25 000 1: 50 000 1: 100 000 1: 200 000 1: 500 000 ллл 1: 1 000 000	Пятитысячная Десятитысячная Двадцатипятитысячная Пятидесятитысячная Стотысячная Двухсоттысячная Пятисоттысячная, или полумиллионная Миллионная	50 м 100 м 250 м 500 м 1 км 2 км 5 км ллл 10 км	0,25 га 1 га 6,25 га 25 га 1 км 2 4 км 2 25 км 2 лл 100 км 2

У карт есть и другие названия. Определим, к каким масштабам относятся следующие названия: стометровка, полукилометровка, километровка, двухкилометровка, пятикилометровка, десятикилометровка .
На каком виде масштаба основываются те названия, которые приведены в таблице? А те, которые приведены в предыдущем абзаце?

(чтение для учащихся)

История про карту в масштабе 1: 1

Жил-был Капризный Король. Однажды он объехал своё королевство и увидел, как велика и прекрасна его земля. Он увидел извилистые реки, огромные озёра, высокие горы и чудесные города. Он возгордился своими владениями и захотел, чтобы весь мир узнал о них. И вот, Капризный Король приказал картографам создать карту королевства. Картографы трудились целый год и, наконец, преподнесли Королю замечательную карту, на которой были обозначены все горные гряды, крупные города и большие озёра и реки.
Однако Капризный Король остался недоволен. Он хотел видеть на карте не только очертания горных цепей, но и изображение каждой горной вершины. Не только крупные города, но и мелкие, и селения. Он хотел видеть небольшие речки, впадающие в реки.
Картографы вновь принялись за работу, трудились много лет и нарисовали другую карту, размером в два раза больше предыдущей. Но теперь Король пожелал, чтобы на карте были видны перевалы между горными вершинами, маленькие озерца в лесах, ручейки, крестьянские домики на окраине селений. Картографы рисовали все новые и новые карты.
Капризный Король умер, так и не дождавшись окончания работы. Наследники один за другим вступали на трон и умирали в свою очередь, а карта все составлялась и составлялась. Каждый король нанимал новых картографов для составления карты королевства, но всякий раз оставался недоволен плодами труда, находя карту недостаточно подробной.
Наконец картографы нарисовали Невероятную карту. Карта изображала всё королевство в мельчайших подробностях - и была точно такого же размера, как само королевство. Теперь уже никто не мог найти различия между картой и королевством.
Где же собирались хранить Капризные Короли свою замечательную карту? Ларца для такой карты не хватит. Понадобится огромное помещение вроде ангара, и в нем карта будет лежать во много слоев. Только нужна ли такая карта? Ведь карта в натуральную величину может быть с успехом заменена самой местностью.

Зависимость детальности карт от масштаба

Если вам доводилось летать на самолётах, то вы наверняка помните, как в начале полёта, когда самолёт только отрывается от земли, под ним проплывают очертания аэропорта, домов, скверов. Но чем выше поднимается он в воздух, тем меньше подробностей видно в иллюминатор, но зато шире становится пространство, открывающееся взгляду. Так же изменяется детальность карт при уменьшении масштаба.
На крупномасштабных картах, где в 1 см площади умещается не больше 500 м земного пространства, небольшая территория изображена очень подробно.
На мелкомасштабных картах, где в 1 см укладывается до нескольких тысяч километров, показаны огромные площади Земли, но с небольшим количеством подробностей. Необходимы и те и другие карты, в зависимости от их назначения.
Если вам интересно, над какими странами вы пролетите, отправляясь из Москвы в Мельбурн, надо открыть мелкомасштабную карту, а отправляясь в лес по грибы или с друзьями в поход, надо взять с собой крупномасштабную карту, чтобы не заблудиться.

Домашние задания для желающих

Определи масштабы карт своей местности

Найди карты, изображающие местность, в которой ты живешь. Если дома таких карт не оказалось, обратись за помощью к знакомым и друзьям, учителю географии, библиотекарю или продавцу книжного магазина.
Выпиши масштабы карт, изображающих твою местность. Какой масштаб крупнее, какой мельче?
Сравни карты разных масштабов и выясни, на картах каких масштабов изображена бo"льшая по площади территория, на каких - меньшая.
Определи, на картах каких масштабов местность изображена более детально, на каких - менее детально.
Сделай вывод о том, как зависит площадь изображаемой территории и ее детальность от масштаба карты.

Определи свое местоположение на карте

По карте своей области (края, республики...) определи расстояние от своего населенного пункта до областного (краевого, республиканского) центра, если вы живете не в нем, или до какого-либо другого населенного пункта, если вы находитесь в центре области (края, республики).

На старинных картах именованный масштаб мог показывать, какое расстояние на местности соответствует одному дюйму или другой архаичной линейной мере на карте.
Здесь и далее расчеты произведены по атласу «География. Начальный курс. 6 кл.».: Атлас. - М.: Дрофа; Издательство ДИК, 1999. - 32 с. Разумеется, на этом этапе обучения учитель пока не затрагивает вопросы искажения расстояний, связанных с картографической проекцией.