» »

Все формулы связанные с параллелограммом. Свойство диагоналей параллелограмма

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

  1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
  2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
  3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
  4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
  5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,

Решение.

1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Конспект урока.

Алгебра 8 класс

Учитель Сысой А.К.

Школа 1828

Тема урока: «Параллелограмм и его свойства»

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

1) Обеспечить усвоение нового понятия – параллелограмм и его свойств

2) Продолжить развитие навыков и умений решения геометрических задач;

3) Развитие культуры математической речи

План урока:

1. Организационный момент

(Слайд 1)

На слайде демонстрируется высказывание Льюиса Кэрролла. Ученикам сообщается о цели урока. Проверяется готовность учеников к уроку.

2. Актуализация знаний

(Слайд 2)

На доске задачи для устной работы. Учитель предлагает ученикам подумать над этими задачами и поднять руку тем, кто понял, как задачу решать. После решения двух задач, на доказательство теоремы о сумме углов вызывается к доске ученик, который самостоятельно делает дополнительные построения на чертеже и доказывает устно теорему.

Учениками используется формула суммы углов многоугольника:


3. Основная часть

(Слайд 3)

На доске определение параллелограмма. Учитель говорит о новой фигуре и формулирует определение, делая с помощью чертежа необходимые пояснения. Затем на клетчатой части презентации, с помощью маркера и линейки, показывает, как можно рисовать параллелограмм (возможно несколько случаев)

(Слайд 4)

Учитель формулирует первое свойство параллелограмма. Предлагает ученикам сказать, по рисунку, что дано и что необходимо доказать. После этого на доске появляется дано задачи. Ученики догадываются (может быть при помощи учителя) что искомые равенства надо доказать через равенства треугольников, которые можно получить проведя диагональ (на доске появляется диагональ). Далее ученики догадываются почему треугольники равны и называют признак равенства треугольников (появляется соответствующая форма). Устно сообщают факты, которые необходимы для равенства треугольников (по мере того как они их называют, появляется соответствующая визуализация). Далее ученики формулируют свойство равных треугольников, оно появляется в виде пункта 3 доказательства и затем самостоятельно завершают доказательство теоремы устно.

(Слайд 5)

Учитель формулирует второе свойство параллелограмма. На доске появляется рисунок параллелограмма. Учитель предлагает по рисунку сказать что дано, что необходимо доказать. После того как ученики правильно сообщают о том, что дано и что необходимо доказать, появляется условие теоремы. Ученики догадываются, что равенство частей диагоналей можно доказать через равенство треугольников AOB и COD . С помощью предыдущего свойства параллелограмма догадываются о равенстве сторон AB и CD . Затем понимают, что надо найти равные углы и с помощью свойств параллельных прямых доказывают равенство прилежащих к равным сторонам углов. Данные этапы визуализируются на слайде. Из равенства треугольников следует и истинность теоремы – проговаривают ученики на слайде появляется соответствующая визуализация.

(Слайд 6)

Учитель формулирует третье свойство параллелограмма. В зависимости от времени, которое остаётся до конца урока, учитель может дать возможность ученикам самостоятельно доказать это свойство, или ограничится его формулировкой, а само доказательство оставить ученикам в качестве домашней работы. Доказательство может опираться на сумму углов вписанного многоугольника, которая повторялась в начале урока, или на сумму внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых AD и BC , и секущей, например AB .

4. Закрепление материала

На этом этапе учащиеся, используя ранее изученные теоремы, решают задачи. Идеи к решению задачи подбирают ученики самостоятельно. Так как возможных вариантов оформления немало и все они зависят от того каким образом ученики будут искать решение задачи, визуализации решения задач нет, а ученики самостоятельно оформляют каждый этап решения на отдельной доске с записью решения в тетрадь.

(Слайд 7)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После того, как ученики, верно составят краткую запись условия на доске появляется «Дано». Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

    Проведём высоту BH (визуализировано)

    Треугольник AHB – прямоугольный. Угол A равен углу C и равен 30 0 (по свойству о противоположных углах в параллелограмме). 2BH =AB (по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 0 в прямоугольном треугольнике). Значит AB = 13 см.

    AB = CD , BC = AD (по свойству противоположных сторон в параллелограмме) Значит AB =CD =13см. Так как периметр параллелограмма равен 50 см, то BC =AD =(50 – 26):2=12см.

Ответ: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После появляется «Дано» на экране. С помощью красных линий выделяется четырёхугольник, про который нужно доказать, что он параллелограмм. Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

    Т.к. BK и MD перпендикуляры к одной прямой, то прямы BK и MD параллельны.

    Через смежные углы можно показать, что сумма внутренних односторонних углов при прямых BM и KD и секущей MD равна 180 0 . Поэтому данные прямые параллельны.

    Так как у четырехугольника BMDK противоположные стороны попарно параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм.

5. Окончание урока. Поведение итогов.

(Слайд 8)

На слайде появляются вопросы по новой теме, на которые ученики отвечают.

У которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник , квадрат и ромб .

Свойства

  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: \left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|.
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а - длина стороны AB, b - длина стороны BC, d_1 и d_2 - длины диагоналей; тогда d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника : учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей . У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: AB = CD, AB \parallel CD.
  2. Все противоположные углы попарно равны: \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC=DA.
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны: AB \parallel CD, BC \parallel DA.
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: AO = OC, BO = OD.
  6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: \angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ.
  7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников .

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

S = ah , где a - сторона, h - высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

S = ab\sin \alpha, где a и b - стороны, а \alpha - угол между сторонами a и b.

См. также

Напишите отзыв о статье "Параллелограмм"

Примечания

Отрывок, характеризующий Параллелограмм

– Доктор говорит, что нет опасности, – сказала графиня, но в то время, как она говорила это, она со вздохом подняла глаза кверху, и в этом жесте было выражение, противоречащее ее словам.
– Где он? Можно его видеть, можно? – спросила княжна.
– Сейчас, княжна, сейчас, мой дружок. Это его сын? – сказала она, обращаясь к Николушке, который входил с Десалем. – Мы все поместимся, дом большой. О, какой прелестный мальчик!
Графиня ввела княжну в гостиную. Соня разговаривала с m lle Bourienne. Графиня ласкала мальчика. Старый граф вошел в комнату, приветствуя княжну. Старый граф чрезвычайно переменился с тех пор, как его последний раз видела княжна. Тогда он был бойкий, веселый, самоуверенный старичок, теперь он казался жалким, затерянным человеком. Он, говоря с княжной, беспрестанно оглядывался, как бы спрашивая у всех, то ли он делает, что надобно. После разорения Москвы и его имения, выбитый из привычной колеи, он, видимо, потерял сознание своего значения и чувствовал, что ему уже нет места в жизни.
Несмотря на то волнение, в котором она находилась, несмотря на одно желание поскорее увидать брата и на досаду за то, что в эту минуту, когда ей одного хочется – увидать его, – ее занимают и притворно хвалят ее племянника, княжна замечала все, что делалось вокруг нее, и чувствовала необходимость на время подчиниться этому новому порядку, в который она вступала. Она знала, что все это необходимо, и ей было это трудно, но она не досадовала на них.
– Это моя племянница, – сказал граф, представляя Соню, – вы не знаете ее, княжна?
Княжна повернулась к ней и, стараясь затушить поднявшееся в ее душе враждебное чувство к этой девушке, поцеловала ее. Но ей становилось тяжело оттого, что настроение всех окружающих было так далеко от того, что было в ее душе.
– Где он? – спросила она еще раз, обращаясь ко всем.
– Он внизу, Наташа с ним, – отвечала Соня, краснея. – Пошли узнать. Вы, я думаю, устали, княжна?
У княжны выступили на глаза слезы досады. Она отвернулась и хотела опять спросить у графини, где пройти к нему, как в дверях послышались легкие, стремительные, как будто веселые шаги. Княжна оглянулась и увидела почти вбегающую Наташу, ту Наташу, которая в то давнишнее свидание в Москве так не понравилась ей.
Но не успела княжна взглянуть на лицо этой Наташи, как она поняла, что это был ее искренний товарищ по горю, и потому ее друг. Она бросилась ей навстречу и, обняв ее, заплакала на ее плече.
Как только Наташа, сидевшая у изголовья князя Андрея, узнала о приезде княжны Марьи, она тихо вышла из его комнаты теми быстрыми, как показалось княжне Марье, как будто веселыми шагами и побежала к ней.
На взволнованном лице ее, когда она вбежала в комнату, было только одно выражение – выражение любви, беспредельной любви к нему, к ней, ко всему тому, что было близко любимому человеку, выраженье жалости, страданья за других и страстного желанья отдать себя всю для того, чтобы помочь им. Видно было, что в эту минуту ни одной мысли о себе, о своих отношениях к нему не было в душе Наташи.
Чуткая княжна Марья с первого взгляда на лицо Наташи поняла все это и с горестным наслаждением плакала на ее плече.
– Пойдемте, пойдемте к нему, Мари, – проговорила Наташа, отводя ее в другую комнату.
Княжна Марья подняла лицо, отерла глаза и обратилась к Наташе. Она чувствовала, что от нее она все поймет и узнает.