Построение логарифмической шкалы. Основы построения графиков

Основные свойства счетной линейки и в первую очередь правило пропорций вытекают из того, что шкалы счетной линейки являются логарифмическими.

Шкала называется логарифмической , если на ней нанесены логарифмы чисел, а отметками шкалы являются сами числа.

На рисунке представлена логарифмическая шкала х рядом с равномерной шкалой у, на которой нанесены десятичные логарифмы чисел х.

у = lg x .

Равномерность шкалы у означает, что длина отрезка [у 1 , у 2 ] между любыми двумя точками у 1 и у 2 этой шкалы пропорциональна разности у 2 - у 1 В частности, последовательные целые точки, y = 0, 1, 2, ... находятся на равных расстояниях друг от друга. На шкале х: против точек у = 0, 1, 2, ... ставятся отметки х = 1, 10, 100.....так что логарифмическая шкала х оказывается уже неравномерной. Промежуточные отметки шкалы х могут быть нанесены с помощью таблицы десятичных логарифмов, например, отметки х = 2; 3; 4; 5 наносятся против значений у = 0,301; 0,478; 0,602; 0,699. Очевидно, что точки х = 1, 2, 3, 4, 5, ... будут при этом находиться на неравных расстояниях.

Логарифмическая шкала простирается неограниченно в обе стороны. Слева от точки х=1 находятся положительные числа, меньшие 1, десятичные логарифмы которых отрицательны. (Мы здесь и в дальнейшем будем употреблять термины «точка х» и «число х» как равносильные, подобно тому как это делается при работе с числовой осью.)

Основные шкалы А и В счетной линейки представляют собой только один отрезок логарифмической шкалы. Шкалы С и D представляют собой отрезок логарифмической шкалы, а шкала К - отрезок той же шкалы.

Шкала L представляет собой равномерную шкалу, точки 0 и 1 которой находятся соответственно против чисел 1 и 10 шкалы В из сказанного выше, а также из рисунка ясно, что шкала L дает десятичные логарифмы чисел шкалы В.

1. Вывод правила пропорций (см. раздел " "). Сначала найдем расстояние ρ [а, b] между двумя точками х = а и x = b (b > а) логарифмической шкалы. Воспользуемся для этого равномерностью шкалы у = lgx длина отрезка шкалы у, совпадающего с отрезком [а, b] шкалы х пропорциональна разности lgb - lga.

Обозначая коэффициент пропорциональности через λ, получим

В частности, расстояние любой точки х логарифмической шкалы от точки 1 пропорционально десятичному логарифму числа х

Коэффициент λ равен длине отрезка логарифмической шкалы (т. е. единице масштаба оси у), как видно из формулы

Возьмем теперь две одинаковые и параллельно расположенные логарифмические шкалы, которые мы обозначим через А и В. Сместим шкалу А относительно шкалы В и рассмотрим любые пары чисел а 1 и b 1 а 2 и b 2 , которые окажутся друг против друга на этих шкалах (см. раздел " ").

В силу формулы

равенство расстояний

равносильно равенству

Это значит, что для рассматриваемых чисел имеет место пропорция

Эта пропорция равносильна пропорции

которая и выражает доказываемое правило:

При любом смещении шкал А и В все числа шкалы А пропорциональны расположенным против них числам шкалы В .

Отметим, что доказанное правило пропорций относится ко всей бесконечной логарифмической шкале. Если бы мы имели возможность построить такую шкалу на счетной линейке, то мы могли бы вести расчеты с числами без их предварительной нормализации и без переброски движка. Необходимость нормализации исходных данных и применяемые в расчетах переброски движка вызваны тем, что на основных шкалах счетной линейки имеется только один отрезок логарифмической шкалы.

2. Свойство «периодичности» логарифмической шкалы. Из правила пропорций вытекает, что если шкалу А сдвинуть относительно шкалы В вправо на длину отрезка , то все числа шкалы В будут в 10 раз больше расположенных против них чисел шкалы А:

Отсюда следует, что логарифмическая шкала на отрезке как бы повторяет отрезок этой шкалы с увеличением всех чисел в 10 раз. Точно так же любой отрезок как бы повторяет отрезок с увеличением всех чисел в 10 n раз (n - целое). Благодаря этому свойству один отрезок позволяет восстановить путем последовательного смешения всю логарифмическую шкалу. Отмеченное свойство называется свойством периодичности логарифмической шкалы. Оно позволяет, в частности, обосновать правило переброски движка путем рассмотрения этой переброски как продолжения шкалы А или В. Далее, в силу того же свойства периодичности логарифмические шкалы С и D можно рассматривать как шкалы, состоящие каждая из двух отрезков , а это значит, что на них можно решать пропорции без переброски движка.

Наконец, свойство периодичности позволяет нанести логарифмическую шкалу на окружность, что вообще снимает вопрос о перебросках движка. Такие круговые логарифмические шкалы реализованы в конструкциях логарифмического диска «Спутник» (см. раздел " ") и описываемой в приложении 3 .

3. Постоянство относительной погрешности. Погрешность установки чисел на шкале определяется тем расстоянием, на которое по техническим правилам допускается смещение штрихов шкалы. Так как смещение штрихов, не превышающее допуска, может встретиться на любом участке шкалы, то для равномерной шкалы абсолютная погрешность установки чисел будет одна и та же на всем протяжении шкалы. Иначе обстоит дело на логарифмических шкалах. Здесь оказывается постоянной не абсолютная, а относительная погрешность установки чисел. Это означает следующее. Пусть при установке чисел а и b на логарифмической шкале их абсолютные погрешности А а и А b вызваны тем, что отметки а и b смещены на одно и то же расстояние. Тогда из равенства этих расстояний

как и в пункте 1, вытекает пропорция

что и выражает равенство относительных погрешностей установки чисел а и b.

По существующим техническим правилам смещение штрихов на обычных счетных линейках не должно превосходить 0,2 мм. Это значит, что предельное допустимое смещение любой отметки а составляет

Отсюда по формуле расстояний получаем

Для основных шкал А к В нормальной линейки коэффициент дающий длину отрезка шкалы, равен 250 мм, поэтому

а значит, относительная погрешность установки чисел на основных шкалах А и В нормальной счетной линейки составляет около 0,2%.

На шкалах С и D коэффициент К вдвое меньше (125 мм) и поэтому относительная погрешность установки чисел на этих шкалах вдвое больше (≈ 0,4%).

4. Построение шкал степенных функций . Рассмотрим сначала соответствие между шкалами В и С корпуса. Шкала В представляет собой отрезок логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ 1 = 250 мм. Шкала С представляет собой отрезок логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ 2 = λ 1 /2 = 125 мм причем 1 шкалы С находится против 1 шкалы В.

Поэтому если точка u шкалы С находится против точки х 0 шкалы В, то из равенства расстояний

Вот почему шкала С является шкалой квадратов для шкалы В. Аналогично строится шкала кубов К с масштабным коэффициентом λ 3 = λ 1 /3.

Шкала квадратов и шкала кубов являются простейшими шкалами степенной функции. Легко построить шкалу степенной функции u = х r при любом показателе r > 0. Для этого достаточно параллельно шкале В аргумента х поместить еще одну логарифмическую шкалу с масштабным коэффициентом

λ r = λ 1 / r

и установить число u = 1 этой шкалы против числа х = 1 шкалы В. Действительно, при этом для соответственных точек х и u по формуле расстояния имеем

откуда u = х r .

Таким путем можно построить на счетной линейке шкалу функции х r не только при любом целом, но и при любом дробном и даже иррациональном значении r. На обычных линейках ограничиваются случаями целых значений r = 2 и r = 3.

Заметим, что можно построить шкалу степенной функции и с отрицательным показателем r = -q, q > 0; для этого надо только изменить направление логарифмической шкалы u. Действительно, при изменении направления оси изменяется знак в формуле расстояния, и поэтому предидущая формула заменяется на следующую:

На обычных линейках подобные шкалы встречаются только для случая г = - 1 ().

График [гр. graphikos - начертанный] - 1) чертеж, применяемый для наглядного изображения количественной зависимости разного рода явлений; 2) кривая на плоскости, изображающая зависимость функции от аргумента .

Аргумент [лат. argumentum] - независимая переменная величина .

Функция [лат. functio - исполнение] - зависимая переменная величина, каким- либо образом изменяющаяся по мере изменения аргумента .

Графики представляют собой наиболее простой, удобный и наглядный способ передачи читателю содержания определенного материала, например, характер изменения величины, процесса, явления и т.д. Поскольку графики воспринимаются человеком визуально, то при построении графиков надо в максимальной степени учитывать свойства глаза человека и принимать все меры к тому, чтобы графический материал был бы приятен для глаза, потому что это способствует его правильному восприятию.

Графики являются одним из видов иллюстраций. При их построении в первую очередь надо разумно выбрать размер и соотношение сторон поля чертежа. Руководствоваться здесь следует совокупностью ряда факторов - назначение графика (служит он только иллюстрацией характера зависимости функции от аргумента, или по нему будут определяться числовые значения аргументов и функций), количество кривых в поле чертежа, сложность формы кривых, наличие или отсутствие концентрации и пересечения нескольких кривых в небольшой области поля чертежа, какая часть кривой (горизонтальная или вертикальная) наиболее информативна и важна в каждом конкретном случае, и т.д. В общем случае не стоит выбирать поле чертежа менее 40x40 мм и более размера листа бумаги формата А4. При выходе за эти размеры принятое решение следует хорошо аргументировать.

Графики для отчетов рисуют на белой бумаге или прозрачной кальке. Возможно использование миллиметровой бумаги (удобства ее использования очевидны), но только светло-желтой или светло-оранжевой, поскольку в этом случае велик контраст между светлым фоном и черными линиями, а на черно-белой ксерокопии миллиметровая сетка будет лишь едва-едва просматриваться, и не будет мешать восприятию иллюстрации. Применение голубой или синей миллиметровки недопустимо вследствие малого контраста между голубым (синим) фоном и черными линиями, что сильно затрудняет работу с графиком и может вызвать ошибки.

Построение графиков может быть ручным или компьютерным. Ось абсцисс и ось ординат графика вычерчивают по соответствующему краю поля чертежа сплошными одинарными линиями толщиной около 0,5 мм. На концах координатных осей стрелок не ставят.

Графики, иллюстрирующие экспериментально изученные зависимости, должны быть снабжены координатной сеткой, покрывающей все поле чертежа. Толщина линий координатной сетки должна быть не менее чем в 2 раза меньше толщины координатных осей. Шаг координатной сетки должен быть удобным для работы с графиком, обычно он берется не менее 5 мм.

При ручном построении графиков оси координат и линии координатной сетки, а также сама кривая должны быть выполнены только черной тушью или черными чернилами, использование пасты и карандашей не допускается. Рекомендуется координатную сетку сначала рисовать тонкими карандашными линиями, и обводить их в соответствующих местах тушью только в самом конце работы над графиком.

Обозначение осей, включая саму букву обозначения и, через запятую, размерность величины (например, i , мкА), должны быть с внешней стороны осей координат, вне координатной сетки, но они не должны выходить за концы координатных осей ни по горизонтали, ни по вертикали иллюстрации.

На поле чертежа допускается нанесения кратких поясняющих надписей, но они должны быть расположены так, чтобы не затруднять восприятие изображаемой зависимости и ни в коем случае не только не пересекаться с кривой графика, но даже и не прикасаться к ней. В месте расположения надписи координатная сетка должна отсутствовать (вот почему при ручном построении графиков рекомендуется координатную сетку сначала рисовать тонкими карандашными линиями).

На поле чертежа не должно быть больших свободных участков координатной сетки, которые не заняты кривыми или надписями. Чтобы этого добиться, масштабные метки следует начинать оцифровывать не с нуля по соответствующей оси, а ограничиваться только теми значениями, в пределах которых рассматривается данная функциональная зависимость, если только это не противоречит концепции построения графика. В некоторых случаях целесообразно первую (начальную) оцифрованную масштабную метку на координатной оси сдвинуть на некоторое расстояние от реального начала этой оси.

Количество числовых значений масштабных меток должно быть разумным, т.е. удобным для работы с графиком. В любом случае обязательна оцифровка первой и последней масштабных меток на каждой оси. Обращаем внимание на то, что если обе начальные метки каждой оси оцифровываются нулевыми значениями, то каждый из этих нулей должен быть проставлен на чертеже, замена этих двух нулей одним общим нулем не допустима по причине возможности появления крупных ошибок при восприятии функциональной зависимости.

Многоразрядные числовые значения масштабных меток могут быть указаны двумя способами.

В первом способе они приводятся в виде произведения удобных для восприятия человеком целых чисел на некоторый постоянный множитель, который указывается рядом с буквенным обозначением данной координатной оси. Например, на координатной оси откладывается ток i в амперах, а масштабные метки должны иметь значения: 0,000011, 0,000012, 0,000013, 0,000014 и т.д. Следует эти масштабные метки оцифровывать таким образом: 11, 12, 13, 14 и т.д., а постоянный множитель 10 -6 вынести в обозначение конца данной координатной оси и обозначить ее конец так: i ´10 -6 , А.

Во втором способе для приведения многоразрядных числовых значений масштабных меток к виду, удобному для восприятия человеком, пользуются стандартными приставками для образования дольных и кратных единиц измерений, и в этих единицах измерений обозначают величину, отложенную на оси координат. Применение второго способа в рассмотренном выше примере будет иметь следующий результат: масштабные метки будут иметь ту же саму оцифровку (11,12,13,14 и т.д.), а обозначение конца цифровой оси будет: i , мкА.

Учитывая, что в системе единиц СИ стандартные приставки для образования дольных и кратных единиц перекрывают с большим запасом весь диапазон числовых значений любых величин, употребляемых в технике, второй способ приведения многоразрядных числовых значений масштабных меток к виду, удобному для восприятия человеком, является более предпочтительным.

На фоне координатной сетки чертежа наносятся точки графика (диаметром немного больше толщины линий координатных осей) соответственно известным сопряженным парам значений аргумента и функции, и эти точки соединяются отрезками прямых линий, толщину которых рекомендуется выбирать немного меньше диаметра нанесенных точек (что бы экспериментальные точки были бы отчетливо видны на графике).

В общем случае график, построенный по экспериментальным данным, обычно имеет вид зазубренной кривой (причины этого будут объяснены в следующих частях данного учебного пособия). Если кривая графика не имеет зазубрин, то это почти всегда свидетельствует о недостаточной точности знания истинных значений аргумента и функции.

Для удобства восприятия и анализа изучаемой функциональной зависимости полученный график следует аппроксимировать плавной линией.

Графики, поясняющие лишь принципиальную или теоретическую картину процесса, более просты по построению, обычно они не имеют координатной сетки. Оси координат таких графиков оканчиваются стрелками. Обозначения осей координат должны быть за пределами рамки графика, но не должны выходить за концы координатных осей. Масштабные метки на осях координат не ставятся; на осях координат допускается указание только крайних значений откладываемых величин, часто даже без соблюдения какого-либо масштаба.

Масштабы шкал графиков

Масштаб - отношение длины линии на карте или чертеже к ее длине в действительности .

При построении графиков под масштабом понимают количество единиц откладываемой величины, эквивалентное одному шагу масштабных меток или координатной сетки.

Шаг масштабных меток всегда указывается в каких-либо единицах длины - в миллиметрах, сантиметрах, дюймах, в клеточках координатной сетки, в отрезках определенной длины.

Различают равномерный и функциональный масштабы.

Равномерный масштаб строится на основе арифметической прогрессии, т.е. числового ряда, в котором числовое значение каждого члена на определенное количество принятых единиц больше или меньше числового значения соседних членов. Примеры равномерного масштаба: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д.; 200, 400, 600, 800, 1000 и т.д.; 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.; 35, 36, 37, 38, 39, 40 и т.д.

Шаг масштабных меток в каждом конкретном случае должен выбираться таким, чтобы им было удобно пользоваться, в частности, чтобы при необходимости его было бы удобно делить на нужное количество частей (чаще всего на 2, на 3, на 4, на 5, на 10). Следует избегать, в общем случае, дробных значений шага, например, 1,7, 2,3, 3,14, 5,9, 11,35, 57,73, 149,29 и т.п..

Свойства равномерного масштаба:

1) если функция и аргумент связаны прямо пропорциональной зависимостью, то при использовании равномерных масштабов по обеим осям график этой функциональной зависимости имеет вид прямой линии, наклоненной под некоторым углом к оси абсцисс;

2) если изучаемая зависимость между аргументом и функцией не является прямо пропорциональной, а диапазон изменения значений аргумента весьма широк, но откладывается на оси абсцисс в равномерном масштабе, то график этой функциональной зависимости будет сжат (в направлении, параллельном оси абсцисс) при малых значениях аргумента, и одновременно будет растянут при больших значениях аргумента.

Равномерный масштаб обычно используется тогда, когда диапазон значений аргумента не широк.

Функциональными называются такие масштабы, в которых числовые значения соседних масштабных меток изменяются по какому-либо закону, отличающемуся от закона арифметической прогрессии, например, по квадратическому, кубическому, логарифмическому, синусоидальному и т.д.

Отправной точкой введения в практику функциональных масштабов явился ряд идей, из которых для инженерного дела наиболее важны две следующие:

1) В ряде случаев путем подбора соответствующего масштаба одной или обеих координатных осей можно превратить график нелинейной функциональной зависимости в прямую линию.

2) Путем подбора соответствующего масштаба по оси абсцисс можно получить возможность одинаково подробного изучения хода графика в любой точке диапазона изменения его аргумента - от минимального значения до максимального, независимо от его ширины.

Рассмотрим пример реализации первой идеи . Пусть исследуется электронный квадратор, т.е. устройство, реализующее математическую операцию возведения в квадрат входной электрической величины Х: Y = K 1 X , где Y - выходной электрический сигнал, К 1 – коэффициент пропорциональности. Требуется оценить точность работы квадратора.

Делается это так. Сначала экспериментально, по точкам, как можно точнее снимают амплитудную характеристику квадратора во всем диапазоне входных сигналов, при этом количество точек должно быть достаточно большим, не менее двух десятков, а точки в данном случае должны быть распределены по диапазону изменения входного сигнала, по понятным причинам, тем чаще, чем больше входной сигнал.

Затем аналитически преобразуют исходное нелинейное уравнение в линейное, изменяя переменные по правилам математики. В данном случае это можно сделать двумя путями: либо сделать замену Х 2 = Z и получить уравнение Y = K 1 Z, либо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения и сделав замены: , получить уравнение Z = K 2 X. Выбирают одно из полученных линейных уравнений, например, второе, и рассчитывают соответствующие значения функции Z и коэффициента пропорциональности К 2 .

Приготавливают лист миллиметровки достаточно большого размера, не менее 200´200 мм (чтобы минимизировать погрешность отложения точек), на него наносят координатные оси, назначают соответствующие равномерные масштабы по обеим осям и оцифровывают масштабные метки. Затем в поле чертежа возможно точнее наносят экспериментальные точки (размером не более трети миллиметра) и их середины соединяют отрезками тонких карандашных линий.

Полученный чертеж берут в руки и ориентируют его относительно глаза (смотрят одним глазом!) таким образом, чтобы линия зрения шла бы вдоль графика. Одним из свойств нашего глаза является то, что он очень хорошо замечает малейшие искривления прямой линии (но практически не замечает довольно большие, порядка десятков процентов, отклонения реального вида различных кривых от их строго теоретического вида). Поэтому при визуальной оценке степени прямолинейности такого искусственно линеаризованного графика очень просто определяется степень соответствия реальной математической связи функции и аргумента предполагаемому теоретическому закону их связи.

Если график кажется прямолинейным, то выносят заключение о высоком качестве квадратора, т.е. о том, что в данном случае, с достаточной для инженерных целей точностью, характеристика квадратора действительно является квадратичной.

Если график в той или иной части отклоняется от прямой, то это свидетельствует о заметной погрешности реализации требуемой характеристики (в данном случае квадратичной). Приложив к графику линейку и определив разницу ординат реального и теоретического (линейного) графиков можно рассчитать количественно погрешность реализации заданной нелинейной характеристики.

Вторая идея наиболее просто реализуется при использовании так называемого логарифмического масштаба.

Логарифмическим называется такой масштаб, когда вдоль координатной оси откладываются не сами числовые значения физической величины, а их логарифмы.

В настоящее время в технике наиболее распространены бригговы иначе десятичные (по основанию 10 ) логарифмы, поэтому только о них и будет идти дальше речь.

Чтобы легче освоить логарифмический масштаб, следует четко представлять некоторые специфичные свойства логарифмов.

При использовании логарифмического масштаба широко применяется понятие “декада”. Декадой называется такой отрезок числовой оси от X min до X max , в котором эти числа отличаются на порядок, т.е. X max: X min = 10. Обычно условно первой декадой называют числовой отрезок от 1 до 10 (т.е. отсчет ведут от цифры 1), второй декадой - от 10 до 100, третьей декадой - от 100 до 1000 и т.д.; также условно отрезок числовой оси от 1 до 0,1 называют минус первой декадой , отрезок числовой оси от 0.1 до 0.01 называют минус второй декадой, отрезок числовой оси от 0,01 до 0,001называют минус третьей декадой и т.д..Десятичный логарифм декады по определению равен единице, т.е. в логарифмическом масштабе декада есть логарифмическая единица. Декада может делиться на любое целое число “к” равных частей, имеющих величину . Например, половина декады (к=2) равна , треть декады (к=3) равна и т.д. Произведение всех к-тых частей декады равно 10. (В некоторых областях техники, например, в акустике, вместо декады пользуются понятием “октава”. Октавой называется такой отрезок числовой оси от X min до X max , в котором эти числа отличаются в два раза, т.е. X max: X min = 2. Октава также может делиться на любое целое число “к” равных частей, имеющих величину . Например, половина октавы (к=2) равна , треть октавы (к=3) равна и т.д. Произведение к-тых частей октавы равно 2.).

Любое число Y, большее единицы, Y = W 10 n -1 ,где W – соответствующее целое или дробное десятичное число первой декады , n – номер декады, в которой находится число Y. Например, число 2 (находящееся в первой декаде), можно представить как 2 10 1-1 =2 10 0 , число 60 (находящееся во второй декаде) – как 6 10 2-1 =6 10 1 , число 200 – как 2 10 2 , число 3160 – как 3,160 10 3 , число 75340 – как 7,5340 10 4 .

Любое числоY, меньшее единицы, в десятичной системе счисления может быть представлено в виде Y = W 10 n . Например, число0,2 (находящееся в первой декаде слева от 1) – как 2 10 -1 , число 0,02 (находящееся во второй декаде слева от 1) – как 2 10 -2 , число 0,00316 (находящееся в третьей декаде слева от 1) – как 3,16 10 -3 .

Как известно, логарифм любого числа состоит из двух частей: из (левой) целой части - характеристики, и из (правой) дробной части - мантиссы . Характеристика десятичного логарифма, представляющая собой цифру, на единицу меньшую количества знаков в целой части числа, показывает, в какой декаде находится данное число. Мантисса, представляющая собой десятичную дробь, показывает точное место числа в данной декаде. Поэтому, каким бы большим или малым не было бы число Y=W10 n -1 или Y=W10 n , в какой бы декаде числовой оси оно бы ни находилось, но если его первая часть (W) представлена целым или дробным числом первой декады, то после логарифмирования мантисса числа Y равна десятичному логарифму числа W, т.е. она одинакова для любых декад – это есть фундаментальное положение для построения логарифмического масштаба.

Логарифмические масштабы по осям абсцисс и ординат строятся по-разному.

Ось абсцисс строится следующим образом.

Сначала соответственно максимальному X max и минимальному X min значениям аргумента определяется, сколько декад должно быть отложено на оси абсцисс.

Если X max и X min находятся внутри одной декады, на оси абсцисс откладывается одна декада или ее необходимая часть. Если X max и X min относятся к разным декадам, на оси абсцисс откладывается требуемое количество декад или их необходимых частей. В любом случае если требующаяся часть декады больше ее половины, то рекомендуется вместо этой части декады брать полную декаду – это резко облегчает построение и восприятие графика.

Проиллюстрируем изложенное примером. Пусть по оси абсцисс откладывается перемещение от X min = 15 мкм = 0,015 мм до X max = 60 мм. Очевидно, что X max относится ко второй декаде справа от 1, а X min - ко второй декаде слева от 1, т.е. по оси абсцисс должно быть отложено 4 декады. Поскольку значения X max и X min не совпадают с обычно принятыми границами декад, оценим, какую долю первой (по счету слева направо) и последней декад занимает диапазон значений аргумента.

Учитывая свойства логарифмов – логарифм произведения равен сумме логарифмов, определяем: lgX min = lg0,015=lg(1,5 10 -2) = lg1,5 + lg(10 -2) = (» 0,18) + (-2) » -1,82, т.е. отсчитывая влево от 1 (поскольку lg1 = 0, и этот нуль является точкой отсчета логарифмических единиц), аргумент занимает »1,82 геометрической длины декад. Отсюда следует, что в крайней левой декаде (т.е. в первой по счету слева направо), используется » 82% геометрической длины декады, поэтому слева от 1 следует отложить две целые декады. Аналогично lgX m ax = lg60 = lg(6 10 1) = lg6+ lg(10 1) = (» 0,78) + 1 » 1,78 , т.е. отсчитывая вправо от 1 (т.е. от нуля логарифмических единиц), аргумент занимает »1,78 геометрической длины декад. Отсюда следует, что в крайней правой декаде (т.е. в последней по счету слева направо), используется » 78% геометрической длины декады, поэтому справа от 1 также следует отложить две целые декады.

Итого на координатной оси в данном примере следует отложить четыре целые декады, в пределах которых “комфортно” уляжется весь диапазон значений аргумента от 15 мкм до 60 мм. Для удобства в данном примере точкой начала отсчета декад следует принять крайнюю левую точку координатной оси.

Как же должна быть обозначена координатная ось и как должны быть оцифрованы масштабные метки, соответствующие границам декад, а также метки внутри декад, например, X min и X max ?

На координатной оси откладываются логарифмы аргумента, поэтому, строго формально, координатная ось должна быть обозначена ”lgX ”, без указания размерности , поскольку логарифм, по определению, всегда является безразмерным числом (обозначение ”lgX, мм”, есть грубая ошибка). Масштабные метки на границах декад должны иметь оцифровку, соответствующую логарифмам числовых значений этих границ. В рассматриваемом примере это будут следующие цифры (отсчитываемые слева направо): -2, -1, 0, 1, 2. Метка, соответствующая X min = 15 мкм, будет иметь оцифровку –1,82, а метка, соответствующая X max = 60 мм, будет иметь оцифровку +1,78. Теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе для условий данного примера приведен на рис. 5.

Очевидно, что теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе крайне неудобен для практического использования: во-первых, глядя на эту ось, невозможно определить размерность аргумента, если только в поле чертежа нет поясняющей надписи; во-вторых, и это главное, все время придется в уме переводить реальные значения аргумента в их логарифмы и обратно, что весьма хлопотно в промежуточных точках на оси.

Рис.5 Теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе

Чтобы избежать указанных трудностей, договорились о следующем. На координатной оси реально откладывают логарифмы соответствующих значений аргумента, но эти точки оцифровываются теми значениями аргумента, логарифмы которых откладываются . Координатная ось обозначается соответствующим обозначением данного аргумента без указания символа логарифма, и указывается использованная размерность данного аргумента, например, Х, мм; f, Гц; i, мкА и т.д. Общепринятый вид той же самой координатной оси в логарифмическом масштабе приведен на рис. 6.

Рис.6 Общепринятый вид координатной оси в логарифмическом масштабе

Выше было отмечено, что положение масштабных меток соответствующих чисел внутри каждой декады, т.е. внутри одной логарифмической единицы (ЛЕ), абсолютно одинаково, поэтому рассмотрим процесс их нанесения внутри только одной декады, для простоты - первой, а геометрическую длину декады примем для удобства работы большой: 1 ЛЕ = 100 мм (рис. 7).

Рис.7 Иллюстрация процесса нанесения масштабных меток внутри одной декады

Логарифмы целых чисел первой декады: lg1 = 0 , lg2 » 0,3 , lg3 » 0,48 , lg4 » 0,6 , lg5 » 0,7 , lg6 » 0,78 , lg7 » 0,85 , lg8 » 0,9 , lg9 » 0,95 , lg10 = 1,0 . На координатной оси откладываются отрезки соответствующей длины, и полученные точки оцифровываются числами, которые соответствуют этим логарифмам. Метку “1,5” обычно не наносят на координатную ось, особенно если геометрическая длина декады невелика; здесь эта метка (lg1,5 » 0,18 ЛЕ) нанесена как пример нанесения на ось метки дробного числа.

Оцифровка меток других декад отличается только тем, что числовые значения меток изменяются на соответствующее количество порядков, например, метка, соответствующая логарифму числа 2, будет иметь оцифровку в последующих декадах, соответственно, 20, 200, 2000 и т.д., а в предыдущих декадах, соответственно, 0,2 , 0,02 , 0,002 и т.д.

При заданной длине координатной оси L оси, например, 125 мм, геометрическая длина одной декады L д зависит от количества декад m, которые должны быть размещены на этой оси: L д = L оси /m, например, при m = 4 L д = L оси:m = 125:4 » 31 мм. Полученное число является нечетным, неудобным в работе, поэтому его целесообразно округлить до ближайшего четного, удобного для масштабирования, например, взять L д = 30 мм. Соответственно назначенной геометрической длине декады изменятся и геометрические расстояния меток от начала декады, но их длины, выраженные в долях от длины декады , всегда останутся неизменными.

Одним из свойств логарифмов является такое: lg0 = - ¥, что графически изобразить невозможно. Поэтому, если Х min = 0 и данное обстоятельство принципиально важно отобразить на графике, то поступать можно следующим образом. На оси абсцисс, немного отступив вправо от ее физического начала, наносят метку “0” (нуль), затем сплошную ось абсцисс прерывают на некоторой небольшой длине, изображают ее штриховой линией, а далее снова изображают сплошной и разбивают на декады, начиная с некоторых малых (по смыслу задачи) значений аргумента. Например, если Х min = 0 мм, а Х max = 60 мм, то вид оси абсцисс будет следующим (рис. 8).

Рис.8 Иллюстрация построения оси абсцисс в логарифмическом масштабе в случае, когда

минимальное значение аргумента равно нулю

Ось ординат в логарифмическом масштабе строится следующим образом.

Значения функции по оси ординат откладываются не в их единицах измерений (миллиметрах, амперах, вольтах, градусах и т.п.), а в искусственных математических единицах – децибелах (дБ), являющихся десятой долей бела (Б).

История появления этих единиц такая. В конце 19 века стала бурно внедряться в практику электрическая энергия и тогда возникла проблема сравнения мощностей различных источников электрической энергии и мощности различных потребителей электроэнергии, заключающаяся в том, что часто эти соотношения характеризовались слишком большими числами, оперировать которыми было очень неудобно. Тогда вспомнили, что свойством логарифмов является уменьшение числового значения очень больших соотношений, и потому было предложено характеризовать соотношение мощностей источников или потребителей электроэнергии не абсолютным значением отношения мощностей Р 1 /Р 2 , а логарифмом этого отношения lg(Р 1 /Р 2).

Единица логарифмического отношения мощностей получила название “бел” в честь изобретателя телефона. Одному белу соответствует отношение мощностей, равное 10:

N = lg [(Р 1 /Р 2)=10] = 1 Б.

Постепенно выяснилось, что бел – очень крупная единица, удобнее оказалось пользоваться десятыми частями бела – децибелами (дБ), и потому выражение для определения соотношения мощностей приобрело следующий вид: N = 10 lg(Р 1 /Р 2), дБ.

В децибелах оказалось удобно выражать и соотношения других параметров электрической энергии – тока и напряжения, но при этом множитель “10” перед логарифмом изменился, поскольку мощность и ток (и напряжение) связаны квадратичной зависимостью: P = i 2 R, где R – сопротивление нагрузки. Мощности источников (и потребителей) энергии логично сравнивать при одинаковых сопротивлениях нагрузок, поэтому

Аналогичное выражение получается и для соотношения напряжений.

Вследствие удобства выражения соотношений величин через децибелы их постепенно стали использовать и для оценки соотношений интенсивностей (значений) прочих величин, в том числе и неэлектрических.

Когда соотношение (X 1 /X 2) > 1, то логарифм этого числа положителен, когда же (X 1 /X 2) < 1, то логарифм отрицателен, и вычислять его хлопотно. Удобней сделать так: если отношение (X 1 /X 2) < 1, то проще определить логарифм обратного отношения X 2 /X 1 , а полученному результату приписать знак “минус”, потому что абсолютное значение логарифма будет одним и тем же. Например, X 1 = 10, а X 2 =20. Тогда X 1 /X 2 = 10/20 = 0,5 , lg0,5 = lg(5 10 -1) = lg5 + lg(10 -1) = 0,699 - 1 = -0,301. Если же взять обратное соотношение X 2 /X 1 = 2, lg2 = 0,301, т.е. получаем ту же самую цифру, только с другим знаком, зато процесс вычисления резко упрощается.

Принципиально в децибелах можно выражать только соотношение величин, но поскольку децибелами очень удобно оперировать, в этих единицах нередко выражают и абсолютные значения величин, используя то обстоятельство, что любое число X можно представить в виде X/1, числовое значение от этого не изменится. Тогда lg(X/1) = lgX – lg1 = lgX – 0 = lgX. Такой прием широко распространен в теории автоматического управления, радиоэлектронике и ряде других областей науки и техники.

Как правило, ось ординат в логарифмическом масштабе обозначается тем условным обозначением, которое принято для данной функции, с указанием, через запятую, единицы “дБ”, например, U, дБ; X, дБ; K, дБ и т.п. Масштабные метки на оси ординат обычно наносятся в равномерном масштабе и оцифровываются соответствующим числом децибел.

Значению величины X, равному единице (X = 1), соответствует нуль шкалы децибел, т.к. lg1 = 0. Поэтому знаки меток на оси ординат в логарифмическом масштабе могут быть как “плюс”, так и “минус”, в зависимости от значения откладываемой величины. Метку “0, дБ” откладывать можно в любом месте оси ординат (на любой высоте, отсчитанной от точки ее физического начала) – там, где это удобно для построения и восприятия графика.

Формальными признаками применения логарифмического масштаба для построения какой-либо координатной оси являются следующие:

1) наличие на координатной оси масштабных меток, числовые значения которых отличаются на порядок (в 10 раз), и равные линейные расстояния между ними;

2) своеобразное распределение масштабных меток на координатной оси внутри декад и соответствующих им линий координатной сетки - разреженное в начале декады и постепенно сгущающееся по мере приближения к концу декады;

3) оцифровка меток координатной сетки в децибелах.

Для идентификации логарифмического масштаба достаточно наличия хотя бы одного из этих признаков.

Все логарифмические масштабы характеризуются следующей совокупностью свойств:

1) имеется возможность одинаково подробно и одновременно рассмотреть особенности хода графика во всех областях значений аргумента, как при очень малых, так и при очень больших;

2) относительная погрешность определения координаты какой-либо точки графика одинакова вдоль всей оси, построенной в логарифмическом масштабе, и определяется соотношением геометрического размера точки на графике в направлении, параллельном данной оси, и геометрической длины соответствующей декады;

3) графики ряда сложных математических выражений могут превратиться в отрезки прямых линий, если обе оси построены в логарифмических масштабах;

4) принципиально невозможно отложить на логарифмических осях точки, соответствующие нулевому значению аргумента и (или) функции, т.к. lg0 = -¥ (при необходимости иметь эти точки приходится прибегать к искусственным приемам – см. выше);

5) при использовании логарифмических масштабов по обеим осям график прямо пропорциональной зависимости имеет вид отрезка прямой линии.

Потоки световой энергии, падающей на сетчатку нашего глаза от Солнца и от звезд, различаются во многие миллиарды раз! Но глаз видит и то, и другое . Ни один технический измерительный прибор не имеет такого широкого диапазона чувствительности. Чтобы производить измерения, применяются специальные усилители или «ослабители» (фильтры) сигнала, а наш глаз справляется с этой проблемой сам. И не только глаз. Мы слышим писк комара и рев авиалайнера, а ведь их звуковое давление тоже различается в миллиарды раз. Как же работают в столь широком диапазоне наши чувства? Оказывается, они используют одну «математическую хитрость» — преобразование измерительной шкалы.

В быту, как правило, мы используем для измерения различных величин линейные шкалы : для измерения длины - метры, мили и футы, для указания веса - граммы, тонны и фунты, а также градусы Цельсия или Фаренгейта - для температуры. В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation». Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 10 4 . По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу - дробную часть логарифма - записывают в виде десятичной дроби. Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения - «порядок величины». В нашем примере запись «10 4 » говорит о том, что речь идет о десятках тысяч. Десятичная дробь уточняет значение числа, причем количество цифр в ней обычно соответствует точности измерения, и запись «5,6» указывает, что точность измерения, вероятно, была около 1%.

Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 10 6). И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами.

По-видимому, впервые это заметил французский физик Пьер Бугер (Pierre Bouguer , 1698-1758), обнаруживший в опытах с освещенными экранами, что глаз фиксирует относительное различие яркости поверхностей. А в виде четкого правила это открытие сформулировал немецкий физиолог Эрнст Вебер (Ernst Heinrich Weber , 1795–1878), изучавший мышечную и кожную чувствительность. Он установил, что мы воспринимаем не абсолютное, а относительное изменение силы раздражителя. Например, если в руке у вас гирька весом в 10 г, то вы уверенно ощущаете добавку к ней ещё такого же веса; но если вы держите вес в 10 кг, то добавление к нему 10-граммовой гирьки вы не ощутите. Позже это подтвердилось и для других органов чувств - зрения, слуха, вкуса. Выяснилось, что наша чувствительность относительна, и разрешающая способность органов чувств обычно составляет несколько процентов.

В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер (Gustav Theodor Fechner , 1801–1887) сформулировал это математически: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Этот закон называется законом Вебера-Фехнера, или основным психофизическим законом. Нередко его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии». Разумеется, область справедливости этого правила не безгранична; оно остается верным для раздражителей не слишком слабых (выше порога чувствительности) и не слишком сильных (ниже болевого порога).

Биологические механизмы реализации закона Вебера-Фехнера пока ещё не до конца ясны. Поэтому мы лишь отметим, как эта особенность нашего восприятия проявляется в науке и технике. Некоторые общепринятые логарифмические шкалы, определяемые выбором коэффициентов пропорциональности, приведены в таблице.

Таблица . Логарифмические шкалы

Взаимное соответствие между ними такое: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2,303 exp. Заметим, что во всех этих шкалах значок после числа указывает не физическую размерность величины, а тип шкалы. Во всех логарифмических шкалах выражается отношение двух одноименных физических величин. Поэтому запись «0,5 dex» может означать как рост в 3,16… раза годового дохода компании (скажем, с 86 до 272 млн руб.), так и увеличение в 3,16… раза среднего удоя коров на ферме (скажем, с 1500 до 4750 литров в год).

Громкость и высота звука - белы, децибелы, октавы

В шкале обычных десятичных логарифмов единица измерения называется бел в честь американского изобретателя телефона Александера Белла (Alexander Graham Bell , 1847–1922). Чаще применяется её десятая часть - децибел. Обе единицы в основном используются в акустике для измерения уровня интенсивности звука и звукового давления, а также в электротехнике. Разность уровней в 1 дБ означает отношение в 10 0,1 =1,2589… раз. Три децибела почти точно означают удвоение. В акустике за ноль-пункт принимают еле слышимый звук (давление около 2 ´ 10 –5 Н/м 2 ), так что при уровне громкости в 90 дБ звуковое давление на барабанную перепонку в миллиард раз больше, чем при едва уловимом шепоте.

Однако у единиц бел и децибел есть особенность, затрудняющая их применение за пределом акустики и электротехники. Дело в том, что эти логарифмические шкалы определяются по-разному для разных физических величин. Введенное выше определение используется только для «энергетических» величин, к которым относятся мощность, энергия, поток энергии… А для «силовых» величин (напряжение, сила тока, давление, напряженность поля…) используется иное определение бела и децибела , поскольку, к примеру, интенсивность звука (поток энергии) и звуковое давление связаны соотношением I ~ p 2 . Неоднозначность белов и децибелов делает более удобной единицу dex, которая применяется всё чаще.

Если амплитуду звуковой волны мы воспринимаем как громкость, то её частоту воспринимаем как высоту звука. И в этом случае справедлив закон Вебера-Фехнера: разные звуки воспринимаются нами как равноотстоящие по высоте, если равны отношения их частот. Для измерения музыкальных интервалов применяются логарифмические единицы. Основная среди них - октава, интервал между двумя звуками, частота одного из которых вдвое больше частоты другого. Понятие октавы становится всё более популярным и за пределом музыкальной сферы, поскольку числа вида 2 n широко используются в импульсной электронике, в частности, в вычислительной технике . Правда, в этих областях слово октава обычно заменяют словом бит (двоичный разряд).

Яркость источников света - шкала звездных величин

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах . Это безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон . Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.

Основанием шкалы звездных величин служит корень пятой степени из 100. Это дань исторической традиции, не имеющая какого-либо рационального оправдания. Для целей астрономической фотометрии вполне хватило бы белов, но звездные величины родились гораздо раньше, и теперь от них трудно отказаться. Обозначают звездную величину латинской буквой «m» (от лат. magnitudo - величина). Среди странностей этой шкалы есть ещё одна - её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта. Например, звезда 2-й звездной величины (2 m ) в 2,512 раза ярче звезды 3-й величины (3 m ) и в 2,512 ´ 2,512 = 6,310 раза ярче звезды 4-й величины (4 m ), и т.д.

Химическая чувствительность - шкала кислотности

Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности . Напомню, что известный школьникам и всем, кто пользуется косметикой , водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg , где - концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за ноль-пункт принимают чистую воду при комнатной температуре (нейтральная среда), имеющую =10 –7 . Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается - чем не шкала звездных величин? Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,512… (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы , которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно, что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера-Фехнера, которому подчиняются все наши чувства, в том числе и органы вкуса.

Восприятие психических явлений - шкала эмоций

На нескольких примерах мы убедимся, что не только физиологические, но и психические шкалы, определяющие силу наших эмоций, также имеют логарифмический характер: для своих субъективных оценок произведенного на нас впечатления мы подсознательно выбираем «ступеньки» в виде геометрической прогрессии.

В качестве общеизвестного примера начнем со «шкалы Ландау», по которой наш знаменитый физик оценивал заслуги своих коллег. Вот как об этом вспоминает академик В. Л. Гинзбург: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн , к классу 1 относились Бор , Дирак, Гейзенберг и ряд других…»

Другие ученики великого физика рассказывают о шкале Ландау немного иначе: «Ландау присваивал великим ученым-физикам всего мира «звездные» номера. Вы знаете, что звезда первой величины - это очень яркая звезда, звезда второй величины - менее яркая и т.д. Эйнштейну, Бору и Ньютону Ландау присвоил половинную величину - 0,5. Дирак, Гейзенберг - это звезды первой величины. Себе он присваивал вторую величину».

Остается неясным, логарифм по какому основанию - 10 или 2,512… - использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу.

Я уже отмечал, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов. Примеры можно приводить долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора, обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже, что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза, уха и прочих физиологических рецепторов.

Рассмотрим одну из «эмоциональных» шкал, предложенных в последние годы.

Туринская и палермская шкалы астероидной опасности

В целом шкала Бинзела подобна шкале Рихтера , используемой сейсмологами для указания энерговыделения при землетрясениях. Обе они вполне доступны пониманию неспециалистов, в чём и заключается их несомненная польза. Туринская шкала позволяет классифицировать астероиды и другие небесные тела (с учетом их размера и скорости относительно нашей планеты) по 11 уровням степени их опасности для землян. Она учитывает не только вероятность столкновения астероида с Землей, но и потенциальные разрушения, к которым может привести катастрофа .

Как видно из таблицы, к нулевой категории отнесены те объекты, о которых с уверенностью можно сказать, что они не достигнут поверхности Земли; к первой - те, что всё же заслуживают внимательного слежения; ко второй, третьей и четвертой отнесены малые планеты, вызывающие оправданное беспокойство. В пятую-седьмую категории включены тела, явно угрожающие Земле, а объекты из последних трех несомненно столкнутся с нашей планетой, причем последствия для её биосферы могут быть локальными, региональными или глобальными. Туринская шкала оказалась полезной для классификации и объяснения публике возможных последствий космических столкновений. Хотя она не содержит четких количественных критериев, всё же можно заметить, что с переходом к следующему баллу, эмоциональное напряжение возрастает «на порядок».

Таблица. Туринская шкала опасности столкновения Земли с астероидами и кометами

Оценка опасности объекта	Балл	Краткая характеристика
Безопасен	0	Вероятность столкновения в ближайшие десятилетия равна нулю. К этой же категории относят столкновения Земли с объектами, которые сгорят в атмосфере, не достигнув поверхности
Заслуживает внимательного слежения	1	Вероятность столкновения крайне низка. Скорее всего, подобные тела в ближайшие десятилетия с Землей не встретятся
Вызывает беспокойство	2	Вероятность столкновения низка, хотя тело пролетит довольно близко. Подобные события происходят нередко
	3	Вероятность столкновения с телом, способным вызвать локальные разрушения, составляет не менее 1%
	4	Вероятность столкновения с телом, способным привести к региональным разрушениям, составляет свыше 1%
Явно угрожает	5	Вероятность столкновения с телом, способным вызвать катастрофу регионального масштаба, очень велика
	6	То же – с вероятными глобальными последствиями
	7	То же – с неизбежными глобальными последствиями
Столкновение неизбежно	8	Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 50-1000 лет
	9	Вероятность катастрофических локальных событий – одно в 1000-100 000 лет
	10	Вероятность глобальной катастрофы (с изменением климата на планете) – не менее одного события в 100 000 лет

Количественно это подтвердилось в недавно опубликованной профессиональной версии Туринской шкалы, названной Палермской шкалой опасности столкновения (Palermo Technical Impact Hazard Scale). Вместо баллов в ней используется непрерывный индекс PS (от Palermo Scale), определенный в виде логарифма отношения ожидаемой вероятности столкновения с конкретным объектом на интервале расчетного времени к фоновой вероятности столкновения с подобными объектами за это же время. Таким образом, степень страха метеоритной опасности также имеет логарифмический характер.

Как видим, свойственный человеческой физиологии и психике логарифмический закон расширяет динамический диапазон наших органов чувств, притупляя их реакцию на сильные раздражители и тем самым отодвигая болевой порог. Очевидно, в течение миллионов лет это способствовало выживанию вида Homo sapiens. Вопрос в том, не окажется ли это свойство нашей психики роковым для человечества в современную эпоху.

Новости партнёров

Отношения величин отмеченных на концах этого отрезка, в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах. Например, для десятичного логарифма каждый последующий отрезок на оси, больше предыдущего в 10 раз.

Наглядный пример употребления и полезности логарифмического масштаба - логарифмическая линейка , которая позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака.

Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. Кроме того, для многих органов чувств величина ощущения пропорциональна логарифму воздействия. Например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза, воспринимаются как одна и та же нота на октаву выше, а интервал между нотами в полтона соответствует отношению их частот 2 1/12 . Поэтому нотная шкала - логарифмическая. Кроме того, согласно закону Вебера - Фехнера , воспринимаемая громкость звука также пропорциональна логарифму его интенсивности (в частности, логарифму мощности колонок). Поэтому на амплитудно-частотных характеристиках звуковоспроизводящих устройств применяют логарифмический масштаб по обеим осям.

Примеры применения логарифмического масштаба:

• Шкала Рихтера интенсивности землетрясений
• Шкала экспозиций в фотографии
• Звёздные величины - шкала яркости звезд
• Шкала
• Шкала интенсивности звука - децибелы
• Шкала частоты звука - нотная шкала

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Логарифмический масштаб" в других словарях:

логарифмический масштаб - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN logarithmic scale …

логарифмический масштаб - logaritminis mastelis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmischer Maßstab, m rus. логарифмический масштаб, m pranc. échelle logarithmyque, f … Automatikos terminų žodynas

логарифмический масштаб - logaritminis mastelis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. Logarithmenskala, f; logarithmischer Maßstab, m rus. логарифмический масштаб, m pranc. échelle logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas

двойной логарифмический масштаб - двойная логарифмическая шкала — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы двойная логарифмическая шкала EN log log scale … Справочник технического переводчика

- (scale (in graphs)) Отметки на каждой оси диаграммы, показывающие уровень цен, количество или значения других переменных. Всегда необходимо указывать используемый масштаб. Возможно применение любого масштаба; наиболее широко применяются… … Экономический словарь

Наука о методах определения химического состава веществ. Химический анализ буквально пронизывает всю нашу жизнь. Его методами проводят скрупулезную проверку лекарственных препаратов. В сельском хозяйстве с его помощью определяют кислотность почв… … Энциклопедия Кольера

- (АЧХ) функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала. АЧХ в теории… … Википедия

Амплитудно частотная характеристика (АЧХ) функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Чаще всего означает модуль комплексного коэффициента передачи линейного четырёхполюсника. Также может… … Википедия

Раздел физики, в к ром изучается вз ствие металлов с эл. магн. волнами оптич. диапазона (электродинамич. св ва металлов). Для металлов характерны: большие коэфф. отражения волн R в широком диапазоне длин волн l, что связано с высокой… … Физическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Шкала (значения). Шкала это знаковая система, для которой задано гомоморфное отображение, ставящее в соответствие реальным объектам тот или иной элемент шкалы. Формально шкалой называют кортеж,… … Википедия

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА

(logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на вертикальной оси – некая реальная или номинальная переменная, например ВВП или уровень цен. Угол наклона кривой в подобной диаграмме показывает пропорциональные темпы роста переменной, а постоянная пропорциональная тенденция роста представлена в виде прямой линии. Если на обеих осях используются логарифмические шкалы, то угол наклона кривой пропорционален ее эластичности. Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале. На обоих графиках (рис. 19) горизонтальные оси показывают время, а вертикальные оси обозначают реальный ВВП воображаемой страны. Рис. 19: Логарифмические шкалы На графике 1 используется натуральная шкала; на графике 2 используется логарифмическая шкала. Предполагается, что в этой стране происходят сменяющие друг друга экономические подъемы, каждый из которых продолжается пять лет, и кризисы, каждый из которых продолжается два года. График 1 позволяет апологетам правительства утверждать, что его политика экономического роста имеет успех, поскольку экономический рост в каждом последующем цикле увеличивается. В то же время он позволяет критикам правительства утверждать, что экономические циклы становятся все более тяжелыми, демонстрирующими некомпетентность политики стабилизации правительства. График 2 показывает ошибочность утверждений обеих сторон. В действительности экономический рост замедляется, но колебания в рамках цикла также становятся менее серьезными. (Цифры были подобраны таким образом, чтобы во время подъемов экономика последовательно увеличивалась на 100, 90, 80% и т.д. и во время кризисов последовательно сокращалась на 10, 9, 8% и т.д.)

Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .

Экономический словарь . 2000 .

Смотреть что такое "ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА" в других словарях:

логарифмическая шкала - Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два. [МИ 2365 96] Тематики метрология,… …

логарифмическая шкала - 2.2.7 логарифмическая шкала: Шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием измеряемой величины. Источник: РМГ 83 2007: Государственная система обеспечения единства измерений. Шкалы измерений. Термины и определения …

На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).… … Википедия

логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Automatikos terminų žodynas

логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Logaritminiu masteliu sudaryta skalė. atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. Logarithmenskala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas

Логарифмическая шкала разностей - Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (Х/Х0), где Х текущее, a X0 принятое по… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

логарифмическая шкала разностей - Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (X/X0), где Х текущее, а Х0 принятое по… … Справочник технического переводчика

логарифмическая шкала для частот - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN logarithmic frequency scale … Справочник технического переводчика

Вид логарифмической шкалы, которая показывает наиболее значимые исторические события на одной странице в десяти строках в логарифическом масштабе.[источник не указан 448 дней] События далёкого прошлого имеют меньшее влияние на … Википедия