Ряд тейлора онлайн калькулятор с подробным решением. Разложение функций в степенные ряды

В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд

который на некотором интервале сходился и его сумма была равна
, т.е.

= ..

Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

Итак, предположим, что функция
имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

Допустим, что функцию
можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точкух 0 :

= .. (*)

где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.

Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим

.

Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

= ..

и полагая здесь х = х 0 , получим

.

При следующем дифференцировании получим ряд

= ..

полагая х = х 0 , получим
, откуда
.

После п -кратного дифференцирования получим

Полагая в последнем равенстве х = х 0 , получим
, откуда

Итак, коэффициенты найдены

,
,
, …,
,….,

подставляя которые в ряд (*), получим

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции
.

Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.

Если функция
в некоторой окрестности точки х 0 имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет место формула Тейлора

где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)

где точка ξ лежит между х и х 0 .

Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.

Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :

.

Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X

Запишем формулу Тейлора в виде, где

Заметим, что
определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f (x ) многочленом S n (x ).

Если
, то
,т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. Инаоборот, если
, то
.

Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Для того, чтобы в некотором промежутке функция f (х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке
, где R n (x ) - остаточный член ряда Тейлора.

С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.

, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.

Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :

1. Находим производные функции f (x ):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.

4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный член R n (x ) стремится к нулю при
или
.

Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.

"Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x) " - именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.

Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x

Вычисления: Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции

напоследок умножим разложение на числитель.
Первое слагаемое - значение функции в нуле f (0) = 1/3.
Найдем производные функции первого и высших порядков f (x) и значение этих производных в точке x=0




Далее с закономерности изменения значения производных в 0 записываем формулу для n-й производной

Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена

Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х

Как видите ничего сложного здесь нет.
Все ключевые моменты базируются на умении вычислять производные и быстрому обобщении значение производной старших порядков в нуле. Следующие примеры помогут Вам научиться быстро раскладывать функцию в ряд.

Пример 4.10 Найти разложение в ряд Маклорена функции

Вычисления: Как Вы возможно догадались раскладывать в ряд будем косинус в числителе. Для этого можете использовать формулы для бесконечно малых величин, или же вывести разложение косинуса через производные. В результате придем к следующему ряду по степеням x

Как видите имеем минимум вычислений и компактную запись разложения в ряд.

Пример 4.16 Разложить функцию в ряд по степеням x:
7/(12-x-x^2)
Вычисления: В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей.
Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей.
Далее записываем знаменатели в показательной форме

Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях "икс" составляем формулу общего члена разложения функции в ряд



Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.

Пример 4.18 Найти разложение в ряд Маклорена функции

Вычисления: Найдем производную этой функции:

Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена:

Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x

Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.

Пример 4.28 Найти разложение в ряд Маклорена функции:

Запишем логарифм следующим образом

По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x логарифм функцию

Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.

Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена и Лорана на сайт для тренировки практических навыков. Это разложение функции в ряд дает представление математикам оценить приближенное значение функции в некоторой точки области ее определения. Намного проще вычислить такое значение функции, по сравнению с применением таблицы Бредиса, так неактуальной в век вычислительной техники. В ряд Тейлора разложить функцию означает вычислить коэффициенты перед линейными функциями этого ряда и записать это в правильном виде. Путают студенты эти два ряда, не понимая, что является общим случаем, а что частным случаем второго. Напоминаем раз и навсегда, ряд Маклорена - частный случай Тейлоровского ряда, то есть это и есть ряд Тейлора, но в точке x = 0. Все краткие записи разложения известных функций, таких как e^x, Sin(x), Cos(x) и другие, это и есть разложения в ряд Тейлора, но в точке 0 для аргумента. Для функций комплексного аргумента ряд Лорана является наиболее частой задачей в ТФКП, так как представляет двусторонний бесконечный ряд. Он и является суммой двух рядов. Мы предлагаем вам посмотреть пример разложения прямо на сайте сайт, это сделать очень просто, нажав на "Пример" с любым номером, а затем кнопку "Решение". Именно такому разложению функции в ряд сопоставлен мажорирующий ряд, ограничивающий функцию исходную в некоторой области по оси ординат, если переменная принадлежит области абсцисс. Векторному анализу поставляется в сравнение другая интересная дисциплина в математике. Поскольку исследовать нужно каждое слагаемое, то необходимо достаточно много времени на процесс. Всякому ряду Тейлора можно сопоставить ряд Маклорена, заменив x0 на нуль, а вот по ряду Маклорена порой не очевидно представление ряда Тейлора обратно. Как бы это и не требуется делать в чистом виде, но интересно для общего саморазвития. Всякому ряду Лорана соответствует двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням z-a, другими словами ряд вида того же Тейлора, но немного отличающегося вычислением коэффициентов. Про область сходимости ряда Лорана расскажем чуть позже, после нескольких теоретических выкладок. Как и в прошлом веке, поэтапного разложения функции в ряд вряд ли можно достичь только лишь приведением слагаемых к общему знаменателю, так как функции в знаменателях нелинейные. Приближенное вычисление функционального значения требует постановка задач. Задумайтесь над тем, что когда аргумент ряда Тейлора есть линейная переменная, то разложение происходит в несколько действий, но совсем другая картина, когда в качестве аргумента раскладываемой функции выступает сложная или нелинейная функция, тогда очевиден процесс представления такой функции в степенной ряд, поскольку, таким образом, легко вычислить, пусть и приближенное, но значение в любой точке области определения, с минимальной погрешностью, мало влияющей на дальнейшие расчеты. Это касается и ряда Маклорена. когда необходимо вычислить функция в нулевой точке. Однако сам ряд Лорана здесь представлен разложением на плоскости с мнимыми единицами. Также не без успеха будет правильное решение задачи в ходе общего процесса. В математике такого подхода не знают, но он объективно существует. В результате вы можете прийти к выводу так называемых поточечных подмножеств, и в разложении функции в ряд нужно применять известные для этого процесса методы, таких как применение теории производных. Лишний раз убеждаемся в правоте учителя, который сделал свои предположения на счет итогов пост вычислительных выкладок. Давайте отметим, что ряд Тейлора, полученный по всем канонам математики, существует и определен на всей числовой оси, однако, уважаемые пользователи сервиса сайт, не забывайте вид исходной функции, ведь может получиться так, что изначально необходимо установит область определения функции, то есть выписать и исключить из дальнейших рассмотрений те точки, при которых функция не определена в области действительных чисел. Так сказать это покажет вашу расторопность при решении задачи. Не исключением высказанного будет и построение ряда Маклорена с нулевым значением аргумента. Процесс нахождения области определения функции никто при этом не отменял, и вы обязаны подойти со всей серьезностью к этому математическому действию. В случае содержания рядом Лорана главной части, параметр "a" будет называться изолированной особой точкой, и ряд Лорана будет разложен в кольце - это пересечение областей сходимости его частей, отсюда будет следовать соответствующая теорема. Но не все так сложно как может показаться на первый взгляд неопытному студенту. Изучив как раз ряд Тейлора, можно с легкостью понять ряд Лорана - обобщенный случай на расширение пространства чисел. Любое разложение функции в ряд можно производить только в точке области определения функции. Следует учитывать свойства таких функций, например, как периодичность или бесконечная дифференцируемость. Также предлагаем вам воспользоваться таблицей готовых разложений в ряд Тейлора элементарных функций, поскольку одна функция может быть представлена до десятков отличных от друг друга степенных рядов, что можно видеть из применения нашего калькулятора онлайн. Онлайн ряд Маклорена проще простого определить, если воспользоваться уникальным сервисом сайт, вам достаточно только ввести правильную записанную функцию и представленный ответ получите в считанные секунды, он будет гарантированно точным и в стандартно записанном виде. Можете переписать результат сразу в чистовик на сдачу преподавателю. Правильно бы сначала определить аналитичность рассматриваемой функции в кольцах, а затем однозначно утверждать, что она разложима в ряд Лорана во всех таких кольцах. Важен момент чтобы не упустить из вида содержащие отрицательных степеней членов ряда Лорана. На этом сосредоточьтесь как можно сильнее. Применяйте с пользой теорему Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2 x ln2, f"(0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2 x ln 2 2, f""(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f"(x) = е x , f"(-4) = е -4 ;
f""(x) = е x , f""(-4) = е -4 ;
…
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Решение .


Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Таким образом,
, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:

• если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
• если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
• в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.



так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Пример №4 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Решение .
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а .

Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :

Пример 1 f(x)= 2 x .

Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x <+¥.

Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .

Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.

f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;

f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;

f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;

f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥<x <+¥.

Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).

Решение . Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х- 1½<1. Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:

(2) ,

(3) ,

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию

Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:

Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение . Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х , получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.

Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3<x- 3<3, 0<x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .

Решение .

Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.