Введение……………………………………………………………. 3

I. График квадратичной функции, содержащей переменную
под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства………………………… 4
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля…………………………… 5
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля, в программе
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Заключение…………………………………………………. …. 15
Список использованной литературы…………………...…….. 16

Введение

Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

А. Эйнштейн.

Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel.
Методы исследования:
1) теоретический (логическая ступень познания);
2) эмпирический (исследование, эксперимент);
3) моделирование.
Практическая значимость моей работы заключается:
1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;
2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

1.1. Основные определения и свойства.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.
Способы задания функции:
1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3) описательный способ (функция задается словесным описанием);
4) графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной.
График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
, .

Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.

.
Свойства:
1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е.
|а+в| |а|+|в|
2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
|а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а|
3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е.
|а в|=|а| |в|
4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.

5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е.
|аn|=|a|n.

1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
А.Н. Колмогоров.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.
В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.

Пример 1.
Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1).

Пример 2.
Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5.
Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).

Рис.2
Пример 3.
Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу
у = х2 – 6|х| +5
Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так:
1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).

Пример 4.
Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5.
Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).

Пример 5.
Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).

Пример 6.

Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции

у = 6х +5
6х + 5 = 0 при.
Рассмотрим два случая:
1)Если, то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где.
2)Если, то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).

Пример 7 .
Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6).


Рис.6
Пример 8.
Рассмотрим построение графиков вида = f (x).
Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля =
Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) .
Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.
Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x).
Построим график функции.

Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно
Рис.7

Пример 9.
Рассмотрим построение графиков вида
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию
Алгоритм построения:
1) Строим график функции.
2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох.
3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8).
Рис.8

Выводы:
1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента.
3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
4. График функции можно получить, построив график функции
у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.

Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|.

Пример 2.
Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.

Пример 3.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5.

Пример 4.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|.

Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.

Пример 6.
Построим график функции.

Пример 7.
Построим график функции.

Заключение

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой.

Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи.
Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Для написания данной исследовательской работы
1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции;
2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные;
3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие;
При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel.
Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы.
Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.

Список использованной литературы

1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил.
2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с.

Интернет – ресурсы

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Надеюсь, вы внимательно изучили пункт 23 и понимаете, чем отличается функция вида от функции . Теперь разберем еще пару примеров, которые должны вам помочь при построении графиков.

Пример 1. Построить график функции

Имеем функцию вида , где .

1. Построим сначала график подмодульной функции, т. е. функции . Для этого выделим целую часть у этой дроби. Напоминаю, что это можно сделать двумя способами: разделив числитель на знаменатель «в столбик» или расписав числитель так, чтобы в нем появилось выражение, кратное знаменателю. Выполним выделение целой части вторым способом.

Значит, подмодульная функция имеет вид . Значит, ее графиком является гипербола вида , смещенная на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Построим этот график.

2. Чтобы получить график искомой функции , необходимо часть построенного графика функции , лежащую выше оси Ох, оставить без изменений, а часть графика, лежащую ниже оси Ох, отобразить симметрично в верхнюю полуплоскость. Выполним эти преобразования.

График построен.

Абсциссу точки пересечения графика с осью Ох можно вычислить, решив уравнение

y = 0, т. е. . Получаем, что .

Теперь по графику можно определять все свойства функции, находить наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, решать задачи с параметром.

Например, можно ответить на такой вопрос. «При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно одно решение?»

Проведем прямые y = a при различных значениях параметра а . (Тонкие красные прямые на следующем рисунке)

Видно, что если a<0 , то график построенной функции и прямая не имеют общих точек, а значит, уравнение не имеет ни одного решения.

Если 0< a<3 или a>3 , то прямая y = a и построенный график имеют две общие точки, т. е. уравнение имеет два решения.

Если же а = 0 или а = 3 , то уравнение имеет ровно одно решение, т. к. при этих значениях а прямая и график функции имеют ровно одну общую точку.

Пример 2. Построить график функции

Решение

Построим сначала график функции при неотрицательных значениях х. Если , то и тогда наша функция принимает вид , а искомая функция – это функция вида .

Графиком функции является ветвь параболы «направленная» влево, смещенная на 4 единицы вправо . (Т. к. мы можем представить ).

Построим график этой функции

и будем рассматривать только ту его часть, которая расположена правее оси Оy. Остальное сотрём.

Обратите внимание, что мы вычислили значение ординаты точки графика, лежащей на оси ординат. Для этого достаточно вычислить значение функции при х = 0. В нашем случае при х = 0 получили y = 2 .

Теперь построим график функции при х < 0 . Для этого построим линию, симметричную той, что мы уже построили, относительно оси Оу.

Таким образом, мы построили график искомой функции.

Пример 3. Построить график функции

Это задача уже совсем непростая. Видим, что тут присутствуют оба вида функций с модулем: и , и . Будем строить по порядку:

Сначала построим график функции без всех модулей: Затем добавим модуль у каждого аргумента. Получим функцию вида , т. е. . Для построения такого графика нужно применить симметрию относительно оси Оy. Добавим еще и внешний модуль. Получим, наконец, искомую функцию . Т. к. эта функция получена из предыдущей применением внешнего модуля, то мы имеем функцию вида , а значит, необходимо применить симметрию относительно Ох.

Теперь подробнее.

Это дробно-линейная функция, для построения графика нужно выделить целую часть, чем мы и займемся.

Значит, графиком этой функции является гипербола вида , смещенная на 2 вправо и 4 вниз.

Вычислим координаты точек пересечения с осями координат.

y = 0 при х = 0, значит, график пройдет через начало координат.

2. Теперь построим график функции .

Для этого в исходном графике сначала сотрём ту его часть, которая располагается левее оси Оy:

, а затем отобразим ее симметрично относительно оси Оy. Обратите внимание, асимптоты тоже симметрично отображаются!

Теперь построим окончательный график функции: . Для этого часть предыдущего графика, лежащую выше оси Ох, оставим без изменения, а то, что находится ниже оси Ох, симметрично отобразим в верхнюю полуплоскость. Опять-таки не забывайте, что асимптоты отображаются вместе с графиком!

График построен.

Пример 4. Применяя различные преобразования графиков, постройте график функции

Что-то совершенно накрученное и сложное! Куча модулей! А у квадрата икса модуля нет!!! Это невозможно построить!

Так или примерно так может рассуждать среднестатистический ученик 8 класса , незнакомый с техникой построения графиков.

Но не мы! Потому что мы знаем РАЗНЫЕ способы преобразования графиков функций и еще знаем разные свойства модуля.

Итак, начнем по порядку.

Первая проблема – отсутствие модуля у икса в квадрате. Не беда. Знаем, что . Хорошо. Значит, наша функция может быть записана в виде . Это уже лучше, потому что похоже на .

Дальше. У функции есть внешний модуль, поэтому, похоже, придется пользоваться правилами построения графика функции . Посмотрим тогда, что собой представляет подмодульное выражение. Это функция вида . Если бы не -2, то функция опять содержала бы внешний модуль и мы знаем, как построить график функции с помощью симметрий. Ага! Но ведь если мы его построим, то, сместив его на 2 единицы вниз, получим искомое!

Итак, что-то начинает вырисовываться. Попробуем составить алгоритм построения графика.

1.

5. И, наконец, . Всё то, что лежит ниже оси Ох, отобразим симметрично в верхнюю полуплоскость.

Ура! График готов!

Удачи вам в нелегком деле построения графиков!

Распространенными примерами с модулями является уравнение типа модуль в модуле. Двойной модуль можно записать в виде формулы
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0 то такое уравнение с модулем легче решать графическим методом. Классическое раскрытия модулей в таких ситуациях громоздкое и не дает желаемого эффекта (экономии времени) на контрольных и тестах. Графический метод позволяет за короткое время выполнить построение модульных функций и найти количество корней уравнения.

Алгоритм построения двойного, тройного модуля достаточно прост и из приведенных ниже примеров понравится многим. Для закрепления методики внизу приведены примеры для самостоятельного вычисления.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле ||x-3|-5|=3.
Решение: Решим уравнение с модулями классическим методом и графически. Найдем ноль внутреннего модуля
x-3=0 x=3.
В точке x=3 уравнения с модулем разделяется на 2 . Кроме того, ноль внутреннего модуля является точкой симметрии графика модулей и если правая сторона уравнения равна постоянной, то корни лежат на одинаковом расстоянии от этой точки. То есть можно решить одно уравнение из двух, а остальные корней вычислить из этого условия.
Раскроем внутренний модуль для x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
Полученное уравнение при раскрытии модуля делится на 2
Под модульная функция >0
x-8=3; x=3+8=11;
и для значений < 0 получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Оба корня уравнения удовлетворяют условию x>3, то есть являются решениями.
Учитывая записано выше правило симметрии решений уравнения с модулями, можно не искать корни уравнения для x< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
а вычислить их.
Значение симметрично относительно x=3 для x=11 равно
x=3-(11-3)=6-11=-5.
По той же формуле находим второе решение
x=3-(5-3)=6-5=1.
Заданное уравнение модуля в модуле имеет 4 решения
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Теперь найдем решения уравнения с модулями графическим методом . С внутреннего модуля |x-3| следует что график стандартной модуль функции является смещен по оси Ох вправо на 3 .
Дальше - отнять 5 означает что график необходимо опустить на 5 клеток по оси Oy . Чтобы получить модуль полученной функции симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox .
И напоследок выполняем построение прямой y=3 , параллельной оси Ox . Лучше всего для вычислений уравнений с модулями графически использовать тетрадь в клеточку, поскольку в ней удобно строить графики.
Окончательный вид графика модулей имеет вид

Точки пересечения модуль функции и прямой y=3 и является искомыми решениями x=-5;x=1; x=5;x=11 .

Преимущество графического метода над раскрытием модулей для простых уравнений очевидно. Однако графически неудобно искать корни когда правая сторона имеет вид k*x+m , то есть является прямой наклоненной к оси абсцисс под углом.
Здесь таких уравнений рассматривать не будем.

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ||2x-3|-2|=2?
Решение: Правая сторона равна постоянной, поэтому скорее найти решение можно графическим методом. Внутренний модуль обращается в нуль
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
в точке x=1,5.
Значит в эту точку смещаем график функции y=|2x|. Для того, чтобы его построить подставьте несколько точек и проведите через них прямые. От полученной функции вычитаем 2 то есть график опускаем на двойку вниз и, чтобы получить модуль переносим отрицательные значения (y< 0) симметрично относительно оси Ox .

Видим, что заданное уравнение имеет три решения.

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем |||x+1|-2|-5|=a имеет 5 решений?
Решение : Имеем уравнение с тремя вложенными модулями. Найдем ответ с графического анализа. Начнем, как всегда, из внутреннего модуля. Он обращается в нуль
|x+1|=0 x=-1
в точке x=-1 .
Строим график модуль функции в этой точке

Повторно выполним смещение графика модуль функции вниз на 5 и симметрично переносим отрицательные значения функции. В результате получим левую сторону уравнения с модулями
y=|||x+1|-2|-5| .

Параметр а соответствует значению параллельной прямой, которая должна пересечь график модуль функции в 5 точках. Сначала проводим такую прямую, далее ищем точку пересечения ее с осью Oy.
Это прямая y=3 , то есть искомый параметр равен a=3 .
Методом раскрытия модулей данную задачу можно было решать целый урок, если не больше. Здесь все свелось к нескольким графикам.
Ответ: a=3 .

Пример 4. Сколько решений имеет уравнение |||3x-3|-2|-7|=x+5 ?
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-3|=0 <=> x=3/3=1.
Строим график функции y=|3x-3|. Для этого на одну клетки изменения x от найденной точки добавляем 3 клетки по y. Выполняйте построение корней уравнения в тетради в клеточку, а я расскажу как это можно сделать в среде Maple.

Restart;with(plots): Приравниваем к нулю все переменные и подключаем модуль для работы с графикой.

> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):

Далее опускаем график на 2 клетки вниз и симметрично оси Ox переносим отрицательные значения (y <0) .
Получим график двух внутренних модулей Полученный график опускаем на двойку и симметрично отражаем. получим график
y=||3x-3|-2|.
В математическом пакете мейпл это равносильно записи еще одного модуля
> plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):

Повторно смещаем график вниз на семь единиц и симметрично переносим. Получим график функции
y=|||3x-3|-2|-7|

В Мэйпл это равносильно следующей ленте кода
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
Строим прямую y=x+5 по двум точкам. Первая - пересечение прямой с осью абсцисс

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики - самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. Поэтому берем любые две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) и проводим единственную прямую.

А если теперь добавить модуль? y = |2x − 1|.

Модуль - это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Красота! А как же будет выглядеить график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Суть построения точно такая же, только здесь отражаем относительно оси «y» .

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Для начала построим y = |2x − 1|, отразив относительно оси «x». В положительной части он будет такой же, как y =|2|x| − 1|.

А после этого отражаем относительно оси «y», то, что мы получили справа:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А настоящие профи могут разобраться, почему же данные графики выглядят так:

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концетрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x - простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « −1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| - отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определнию:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно заданных графика:

C двумя модулями кусочно заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

1. Модуль - это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.