Интерполяционные многочлены ньютона. Интерполяционная формула ньютона Первая и вторая интерполяционные формулы ньютона

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями. Укажем некоторые из этих задач. Обработка физического эксперимента – построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений, на основе интегральных тождеств.
Часто требуется восстановить функцию f(x) на отрезке a ≤ x ≤ b , если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка.

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрим более подробно метод Ньютона.

В таблице 1 приведены данные временной сложности алгоритмов.

Таблица 1

Входные данные:
x — координата, в которой необходимо вычислить.
n – Количество узлов.
Step – шаг интерполяции
Множество MasX – Значения x .
Множество MasY – Значения f(x) .

Выходные данные:
res – значение полинома в точке x .

Алгоритмическая модель метода Ньютона:
Множество mas мощностью |n + 2, n + 1|; Для всех i от 0..2: Для всех j от 0..n+1: Если i = 0: masi,j = MasXj; иначе Если i = 1: masi,j = MasYj; m = n; Для всех i от 2..n+2: Для всех j от 0..m: masi,j = mas(i-1),(j+1) – mas(i–1),j; m = m-1; Множество dy0 мощностью |n + 1|; Для всех i от 0..n+1: dy0i = mas(i + 1),0; res = dy00; Множество xn мощностью |n|; xn0 = x - mas0,0; Для всех i от 1..n: ans = xni - 1 * (x - mas0, i); xni = ans; ans = 0; m1 = n + 1; fact = 1; Для всех i от 1..m1: fact = fact * i; res = res + (dy0i * xni - 1) / (fact * stepi);

На рисунке 1 изображена схема интерполяции метода Ньютона.


Рисунок 1 — интерполяция метода Ньютона

// x - координата, в которой необходимо вычислить значение полинома Ньютона; n - количество узлов; MasX - массив x; MasY - массив значений x; step - шаг public double Newton(double x, int n, double MasX, double MasY, double step) { double[,] mas = new double; for (int i = 0; i < 2; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { if (i == 0) mas = MasX[j]; else if (i == 1) mas = MasY[j]; } } int m = n; for (int i = 2; i < n + 2; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { mas = mas - mas; } m--; } double dy0 = new double; for (int i = 0; i < n + 1; i++) { dy0[i] = mas; } double res = dy0; double xn = new double[n]; xn = x - mas; for (int i = 1; i < n; i++) { double ans = xn * (x - mas); xn[i] = ans; ans = 0; } int m1 = n + 1; int fact = 1; for (int i = 1; i < m1; i++) { fact = fact * i; res = res + (dy0[i] * xn) / (fact * Math.Pow(step, i)); } return res; }

Составим таблицу значений для f(x) = x^3.

Найдем полимер в точке 2.1: f(2.1) = 2.1^3=9,261

С помощью программной функции мы получили такой же результат (Рисунок 2).


Рисунок 2 — применение функции

Нами были рассмотрены основные метода интерполяции многочленами. На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрели более подробно метод Ньютона.

Мы построили математическое описание методов, после чего приступили к разработке схемы программы.

Разработали программу реализующую интерполяцию метода Ньютона, на языке C# в Visual Studio 2012.

Протестировали программу, все тесты на основе заданных нами данных были успешно пройдены.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Пусть функция у = f (x ) задана на сетке равноотстоящих узлов x i =x 0 +ih, где i = 0,1, ..., п, и для нее построена таблица конечных разностей § 16.3.

В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Р п (х ) в форме

Р n (х ) = а 0 +а 1 (х-х 0 ) + а 2 (х-х 0)(х-х 1)+... + а n (х-х 0)( х-х 1) … (х-х n - 1). (17.1)

Его п+ 1 коэффициент а 0 , а 1 , ..., а n будем находить последовательно из п +1 интерполяционных равенств

Р n (х i ) =y i , i = 0,1, ..., п .

А именно, полагая i = 0, т.е. х = х 0 , в (1.23) имеем Р n (х 0 ) = а 0 , следовательно, а 0 = у 0 .

а 0 +а 1 (х- х 0 )=y 1 ,

в которое подставляем уже найденное значение а 0 = у 0 . Разрешая это равенство относительно а 1 и используя обозначение конечной разности, получаем

Полной индукцией можно показать справедливость выражения

Подставляя найденные коэффициенты а 0 , а 1 , ..., а n в (17.1), получаем многочлен

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (17.2), начиная со второго, содержит множитель х- х 0 , естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла х 0 . Будем называть узел х 0 базовым для многочлена (17.2) и упростим (17.2) введением новой переменной q райенством или (что то же) равенством x = x 0 +qh. Так как

x - x i = x 0 + qh - x 0 - ih= h (q- i ),

то в результате подстановки этих разностей в (17.2) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

где обозначение Р n (x 0 + qh ) указывает не только на n -ю степень многочлена, но и на базовый узел x 0 и связь переменных х и q.

Первая формула Ньютона (17.3) обычно применяется при значениях |q | < 1, а именно, для интерполирования вперед (при х Î (х 0 , x 1), т.е. при q Î (0, 1)) и экстраполирования назад (при х < х 0 т.е. при q < 0).

Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов - номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17.3) узел х 0 можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке х, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.

Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17.3) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (17.1), форма интерполяционного многочлена Р n (х ) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.

Р (х ) = а 0 +а 1 (х-х n ) + а 2 (х-х n )(х-х n - 1)+... + а n (х-х n )( х-х n - 1)…(х-х 1).

Коэффициенты а 0 , а 1 , ..., а n этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (17.1), только здесь подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

в котором базовым является узел х n и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от у n диагонали.

Положим в (17.4) x = x n +qh, иначе, введем новую перемен и преобразуем к ней входящие в (17.4) разности:

x - x i = x n + qh - x 0 - ih= x 0 + nh + qh - x 0 - ih= h (q+n- i )

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

Ее также целесообразно использовать при значениях |q | < 1, т.е. в окрестности узла х п для интерполирования назад (при q Î (-1, 0)) и экстраполирования вперед (при q > О).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы и потому называемых центральными интерполяционными формулами. Прежде, чем определять эти формулы, введем понятие центральных разностей.

Будем считать, что узел x 0 расположен в середине таблицы, и нумерация остальных узлов производится, начинаясь с х 0 , с использованием как положительных, так и отрицательных индексов, т.е. считаем x i =x 0 +ih, где i = 0, ±1, ±2,... . Тогда центральная часть таблицы конечных разностей будет проиндексирована так, как это показано в табл. 1.7. Все подчеркнутые в ней конечные разности (находящиеся с XQ,y Q в одной строке и на полстроки выше и ниже) называются центральными разностями.

x - 3 y - 3 Dy - 3

x - 2 y - 3 Dy - 2 D 2 y - 3 D 3 y - 3

x - 1 y - 1 D y - 1 D 2 y - 2 D 3 y - 2 D 4 y - 3 D 5 y - 3

x 0 y 0 D y 0 D 2 y - 1 D 3 y - 1 D 4 y - 2 D 5 y - 2 D 6 y - 3

x 1 y 1 Dy 1 D 2 y 0 D 3 y 0 D 4 y - 1

x 2 y 2 Dy 2 D 2 y 1

x 3 y 3

Интерполяционный многочлен ищем в форме

Р (х ) = а 0 +а 1 (х-х 0) + а 2 (х-х 0)(х-х 1)+ а 3 ( х-х - 1) (х-х 0)(х-х 1)+

+а 4 ( х-х - 1) (х-х 0)(х-х 1)( х-х 2)+… .

Коэффициенты ищем, как и прежде. Введя новую переменную и выразив через нее разности x - x i = h (q- i ) для всех i = 0, ±1, ±2, ..., в результате подстановки этих разностей и выражений коэффициентов после преобразований приводит к формуле

называемой интерполяционной формулой Стирлинга.

Рассмотрим вопрос о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечноразностной интерполяции.

Известно, что все построенные здесь конечноразностные интерполяционные многочлены Ньютона и Стирлинга - это всего лишь различные формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена (16.7).

Для первого интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.3) погрешность может быть записана следующим образом

Для второго интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.5) погрешность может быть записана следующим образом

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:

P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6.3.3-8)

где а i , i = 0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для определения коэффициентов а i будем в (6.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x n P n (x n) = y n , следовательно, a 0 = y n .

При х = x n -1 имеем P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), откуда

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (6.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Введя обозначение:

и, подставив х в (6.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей 6.3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х 3 =1.8, х 2 =1.6 и х 1 =1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

· для первой формулы Ньютона:

(6.3.3-11)

· для второй формулы Ньютона:

(6.3.3-12)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.

На практике, если интерполируемая функция y = f(x) задана таблично , полагая, что D n +1 = const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:

(6.3.3-13)

Пример 6.3.3-1. Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Практическая погрешность оценивается соотношением:

e 1 = |Р 2 (х) - Р 1 (х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х n = 1.3; х n -1 = 1.2; х n -2 = 1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид:

x	y	Dy	D 2 y
1.1 1.2 1.3	0.095310 0.182322 0.262364	0.087012 0.080042	-0.006970

Тогда:

6.3.4. Сплайн – интерполяция

В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов . Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.

Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).

Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = S(x) таким образом, чтобыf(x i) = S(x i) в точках x = x i , a в остальных точках отрезка значения функций f(x) и S(x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования показали, что гибкая тонкая линейка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой.

Таким образом, сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями y i , в узлах х i,
(i = 0, 1,...,n). Обозначим длину частичного отрезка как h i =x i -x i-1 ,
(i = 1, 2,...,n). Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [х i-1 ;х i ] в виде:

где - четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем совпадения значений S(x)в узлах с табличными значениями функции f(x):

(6.3.4-2)

Число этих уравнений (2n) в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) во внутреннем узле x i .

Вычислим выражения для производных S"(x), S"(x)последовательным дифференцированием (6.3.4-1):

S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2 , (6.3.4-4)

S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)

найдем правые и левые производные в узле:

S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i ,

S"(x i +0) = b i+1 , где i = 1,2,..., n -1.

Аналогично поступаем для второй производной:

S"(x–0) = 2c i +6d i h i ,

S"(х+0) = 2с i+1 .

Приравняв левые и правые производные, получаем:

b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)

с i+1 = с i - + 3d i h i , где i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)

Уравнения (6.3.4-6), (6.3.4-7) дают еще 2(n–1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. е. равенство нулю второй производной), то получим:

с i =0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)

Исключив из уравнений (6.3.4-2) – (6.3.4-3) nнеизвестных a i , получаем систе­му уравнений:

(6.3.4-9)

где i=0, 1,...., n - 1.

Система (6.3.4-9) состоит из 3(n-1)уравнений. Решив систему (6.3.4-9), получаем значения неизвестных b i , c i , d i ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна:

где i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)

Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, доста­точно громоздка, поэтому ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью сплайнов, используя функции пакетов п.п. 6.3.6.

При получении интерполяционных формул Ньютона, которые используются для тех же целей, что и формула Лагранжа, сделаем дополнительное предположение, что рассматриваются равноотстоящие значения аргумента. Итак, пусть значения функции у = f (x ) заданы для равноотстоящих значений x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Этим значениям аргументов будут соответствоватьзначенияфункции: у 0 = f(x 0),у 1 = f(x 1), …, y n = f(x n).

Запишем искомый многочлен в виде

F(x ) = a 0 + a 1 (x - x 0) + a 2 (x - x 0)(x - x 1) + a 3 (x - x 0)(x - x 1)(x - x 2) + …

…+ a n (x - x 0)(x - x 1)…(x - x n -1) (3.9)

Для определения коэффициентов a 0 , a 1 ,..., а n положим в (3.9) х = х 0 . Тогда у 0 = F (x 0)=а 0 . Далее, полагая x=x 1 , получим у 1 = F (x 1) = a 0 + а 1 h , откуда

a 1 =

Продолжая вычисления коэффициентов, положим х = х 2 . Тогда

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh , y 2 – 2Δy 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

Исходя из (3.8), получаем y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Точно так же получим

Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для любого коэффициента а k:

Подставим найденные выражения коэффициентов в формулу (3.9), получим

Полученная формула и называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Для практического использования формулу Ньютона (3.10) обычно записывают в преобразованном виде. Для этого введем обозначение

отсюда х = х 0 + ht .

Выразим через t множители, входящие в формулу (3.10):

………………………..

Подставив полученные выражения в формулу (3.10), окончательно получаем

Выражение (3.11) представляет окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Пример . Приняв шаг h = 0,05,построить на отрезке интерполяционный полином Ньютона для функции y = e x ,заданной табл. 3.3.

Таблица 3.3

Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не отделяем запятой десятичные разряды, которые ясны из столбца значений функций.

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3.11) полагаем n = 3. Приняв х 0 = 3,50 и у 0 = 33,115, будем иметь:

Первая интерполяционная формула Ньютона неудобна для интерполирования функции в конце таблицы, где число значений разностей мало. В этом случае применяется вторая интерполяционная формула Ньютона, которую мы сейчас и рассмотрим.

Напишем искомый интерполяционный многочлен в виде

Как и ранее, коэффициенты а 0 , а 1 ,… а n определяются из условия F (x i) = y i . Положим в (3.12) х = х n . Тогда a 0 = y n .

Точно так же, полагая x = x n -1 , получим y n -1 = y n +a 1 (x n -1 - x n) ,

а так как x n -1 – x n = - h , то

Числитель последнего выражения можно представить так:

y n – y n -1 – (y n -1 - y n -2 )= Δy n -1 - Δy n -2 = Δ 2 y n -2 .

Продолжая аналогичные вычисления, получим общую формулу для коэффициентов

После подстановки в (3.12) всех значений коэффициентов эта формула примет вид

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Для удобства применения ее, как и первую, преобразуют, введя обозначения

= t или x = x n + th .

Выразим теперь через t множители в формуле (3.13):

……………………………………………..

Произведя такую замену, окончательно получим:

Пример . По табл. 3.5 значений семизначных логарифмов для чисел от 1000 с шагом 10 найти lg 1044.

Таблица 3.5

x	y	Δy	Δ 2 y	Δ 3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Примем x n = 1050,y n = 3,0211893;Δ y n-1 = 0,0041560;

Δ 2 y n -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0,0000008.Тогда для x = 1044 получаем

Как первая, так и вторая интерполяционные формул Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функций, т. е. для нахождения значений функций для значений аргументов х , лежащих вне пределов таблицы. Еслизначение x < x 0 и значение x близко к x 0 , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем

Еслиже x > x 0 и x близко кх п , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, – используется для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Пример . Имея табл. 3.6 значений и разностей,у= sin х : в пределах отх = 15° дох = 55° с шагом h = 5° , найти sin 14° и sin 56° .

Таблица 3.6

x (0 C)	y	Δy	Δ 2 y	Δ 3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Решение . Для вычисления sin14 0 примем x 0 = 15 0 и x = 14 0 , отсюда t = (14–15)/5 = – 0,2.

Здесь следует выполнить экстраполирование назад, поэтому применим первую интерполяционную формулу Ньютона и подчеркнутые одной чертой конечные разности:

sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Для отыскания sin56 0 примем x n = 55 0 и x = 56 0 , отсюда t = .

Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона (3.14) и, используя дважды подчеркнутые разности, будем иметь:

sin56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532+ (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Аннотация

Пояснительная записка курсовой работы "Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона" содержит в себе введение, анализ задания описанием входных и выходных данных, обзор литературных источников, описание математической модели и методов вычислительной математики, пояснения к алгоритму, текст программы, инструкцию. При изучении дисциплины "Информатика" для написания курсовой работы использовались различные литературные источники, которые перечислены в настоящем документе. В данной курсовой работе приведена программа, которая применяется для интерполяции таблично заданной функции методом Ньютона. В ней был использован метод структурного программирования для облегчения написания и отладки программы, а также повышения ее наглядности и читаемости. Целью написания данной работы было получение и закрепление практических навыков разработки алгоритмов различными методами. Представленная программа реализована на языке программирования Pascal. Пояснительная записка содержит 25 листов, на которых размещено два рисунка, текст программы и описание программы и алгоритма.

Введение

Анализ задания

Математическая модель задачи

Программирование функции формулы Ньютона

Обзор литературных источников

Разработка программы по схеме алгоритма

Инструкция пользования программой

Текст программы

Исходные данные и результат решения контрольного примера

Заключение

Список использованных источников

Введение

Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных -таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются.

В связи с этим современный специалист с высшим образованием должен обладать не только высоким уровнем подготовки по профилю своей специальности, но и хорошо знать математические методы решения инженерных задач, ориентироваться на использование вычислительной техники, практически освоить принципы работы на ЭВМ.

Анализ задания

В качестве входных данных использованы:

1. Количество узлов.

2. Табличные значения функции.

Выходными данными, т.е. результатом программы является:

1. Значения таблично заданной функции в промежуточных значениях.

2. График полинома.

Математическая модель задачи

При выполнении курсовой работы была выбрана следующая математическая модель:

Интерполяция и приближение функций.

1. Постановка задачи.

Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Часто требуется восстановить функцию

для всех значений на отрезке если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений (измерений) в каком-то натурном эксперименте, либо в результате вычислений. Кроме того, может оказаться, что функция задается формулой и вычисления ее значений по этой формуле очень трудоемки, поэтому желательно иметь для функции более простую (менее трудоемкую для вычислении) формулу, которая позволяла бы находить приближенное значение рассматриваемой функции с требуемой точностью в любой точке отрезка. В результате возникает следующая математическая задача.

Пусть и» отрезке

задана сетка со

и в ее узлах заданы значения функции

, равные .

Требуется построить интерполянту - функцию

, совпадающую с функцией в узлах сетки: .

Основная цель интерполяции - получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений

для значений , не содержащихся в таблице данных.

2. Интерполяция по Ньютону

Дана табличная функция:

i
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Точки с координатами

называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например,

, причем . Для решения задачи используется интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

где n – степень многочлена,

Интерполяционная формула Ньютона формула позволяет выразить интерполяционный многочлен

через значение в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам .

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях.

Пусть в узлах

,

известны значения функции

. Предположим, что среди точек , , нет совпадающих. Разделенными разностями первого порядка называются отношения , , .

Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, т. е. выражения