» »

Vjerojatnost događaja je nula. Klasična definicija vjerojatnosti - teorija i rješavanje problema

Kratka teorija

Za kvantitativno usporedbu događaja prema stupnju mogućnosti njihova događanja uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerojatnost događaja. Vjerojatnost slučajnog događaja je broj koji izražava mjeru objektivne mogućnosti da se događaj dogodi.

Veličine koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi za očekivati ​​pojavu događaja karakterizirane su vjerojatnošću događaja. Mora se naglasiti da je vjerojatnost objektivna veličina koja postoji neovisno o spoznavatelju i uvjetovana je cjelokupnim skupom uvjeta koji pridonose zbivanju nekog događaja.

Objašnjenja koja smo dali za koncept vjerojatnosti nisu matematička definicija, budući da ne kvantificiraju koncept. Postoji nekoliko definicija vjerojatnosti slučajnog događaja, koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasična, geometrijska definicija vjerojatnosti, statistička itd.).

Klasična definicija vjerojatnosti događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako mogućih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kockica homogena kocka, tada će gubitak bilo koje strane te kocke biti jednako mogući događaji.

Neka se pouzdani događaj podijeli na jednako moguće slučajeve čiji zbroj daje događaj. Odnosno, slučajevi na koje se raspada nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava pojavu.

Vjerojatnost događaja bit će označena simbolom .

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja za njega povoljnih slučajeva od ukupnog broja jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerojatnosti. Dakle, da bismo pronašli vjerojatnost nekog događaja, potrebno je, uzevši u obzir različite ishode testa, pronaći skup jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupni broj n, broj slučajeva m povoljnih za određeni događaj, a zatim izvršite izračun pomoću gornje formule.

Vjerojatnost događaja jednaka omjeru broja eksperimentalnih ishoda koji su povoljni za događaj i ukupnog broja eksperimentalnih ishoda naziva se klasična vjerojatnost slučajni događaj.

Iz definicije slijede sljedeća svojstva vjerojatnosti:

Svojstvo 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.

Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerojatnost pojavljivanja događaja koji čine potpunu skupinu jednaka je jedinici.

Svojstvo 5. Vjerojatnost nastanka suprotnog događaja određena je na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja A.

Broj slučajeva koji pogoduju pojavi suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost pojavljivanja suprotnog događaja jednaka je razlici između jedinice i vjerojatnosti događanja događaja A:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je u tome što se pomoću nje vjerojatnost događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na temelju logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uvjeta, pouzdani događaj će se sigurno dogoditi, ali nemogući događaj se sigurno neće dogoditi. Među događajima koji se mogu ili ne moraju dogoditi kada se stvori niz uvjeta, na pojavu nekih se može računati s dobrim razlogom, a na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, u urni ima više bijelih kuglica nego crnih kuglica, tada postoji više razloga za nadu da će se pojaviti bijela kugla kad se nasumično izvuče iz urne nego da će se pojaviti crna kugla.

Sljedeća stranica govori o tome.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih kuglica. Slučajno se izvlače 3 kuglice. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: – izvučena je najmanje 1 crvena kuglica, – postoje najmanje 2 kuglice iste boje, – postoje najmanje 1 crvena i 1 bijela kuglica.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda testa nalazimo kao broj kombinacija 19 (8+4+7) elemenata od 3:

Nađimo vjerojatnost događaja– izvučena je najmanje 1 crvena kuglica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Tražena vjerojatnost:

Neka događaj– postoje najmanje 2 kuglice iste boje (2 ili 3 bijele kuglice, 2 ili 3 crne kuglice i 2 ili 3 crvene kuglice)

Broj ishoda koji su povoljni za događaj:

Tražena vjerojatnost:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i jedna bijela kuglica

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda koji su povoljni za događaj:

Tražena vjerojatnost:

Odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bodova najmanje 5.

Riješenje

Neka događaj ima ocjenu najmanje 5

Upotrijebimo klasičnu definiciju vjerojatnosti:

Ukupan broj mogućih ishoda testa

Broj ispitivanja koja favoriziraju događaj od interesa

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedna točka, dvije točke..., šest točaka. slično, moguće je šest ishoda prilikom bacanja druge kocke. Svaki od ishoda bacanja prve kocke može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih elementarnih ispitnih ishoda jednak je broju postavljanja s ponavljanjima (izbor s postavljanjem 2 elementa iz skupa sveska 6):

Nađimo vjerojatnost suprotnog događaja - zbroj bodova je manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova favorizirat će događaj:

№ 1. kost 2. kost 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Prosjek trošak rješavanja testa je 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu uvelike utječe hitnost odluke (od jednog dana do nekoliko sati). Cijena online pomoći za ispit/test je od 1000 rubalja. za rješavanje tiketa.

Zahtjev možete ostaviti izravno u chatu, nakon što ste prethodno poslali uvjete zadataka i obavijestili vas o vremenskom okviru za rješenje koje vam je potrebno. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.

Poglavljeja. SLUČAJNI DOGAĐAJI. VJEROJATNOST

1.1. Pravilnost i slučajnost, slučajna varijabilnost u egzaktnim znanostima, biologiji i medicini

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce u slučajnim pojavama. Slučajna pojava je pojava koja se, kada se isto iskustvo ponavlja nekoliko puta, svaki put može dogoditi nešto drugačije.

Očito, ne postoji niti jedna pojava u prirodi u kojoj elementi slučajnosti nisu prisutni u ovoj ili onoj mjeri, ali ih u različitim situacijama uzimamo u obzir na različite načine. Stoga se u brojnim praktičnim problemima mogu zanemariti i umjesto stvarnog fenomena uzeti u obzir njegov pojednostavljeni dijagram - "model" - uz pretpostavku da se u danim eksperimentalnim uvjetima fenomen odvija na vrlo određen način. Istovremeno se ističu najvažniji, odlučujući čimbenici koji karakteriziraju pojavu. Upravo se ova shema za proučavanje pojava najčešće koristi u fizici, tehnici i mehanici; tako se otkriva glavni obrazac , karakterističan za danu pojavu i koji omogućuje predviđanje rezultata eksperimenta na temelju zadanih početnih uvjeta. A utjecaj slučajnih, manjih čimbenika na rezultat eksperimenta ovdje se uzima u obzir slučajnim pogreškama mjerenja (u nastavku ćemo razmotriti metodu njihovog izračuna).

Međutim, opisana klasična shema tzv. egzaktnih znanosti slabo je prikladna za rješavanje mnogih problema u kojima brojni, usko isprepleteni slučajni čimbenici igraju zamjetnu (često odlučujuću) ulogu. Ovdje do izražaja dolazi slučajnost pojave koja se više ne može zanemariti. Ovaj se fenomen mora proučavati upravo sa stajališta obrazaca koji su mu svojstveni kao slučajnom fenomenu. U fizici su primjeri takvih pojava Brownovo gibanje, radioaktivni raspad, brojni kvantnomehanički procesi itd.

Predmet proučavanja biologa i liječnika je živi organizam čiji nastanak, razvoj i postojanje određuju mnogi i različiti, često slučajni vanjski i unutarnji čimbenici. Zato su pojave i događaji živog svijeta u mnogočemu i slučajne prirode.

Elementi neizvjesnosti, složenosti i višestruke uzročnosti koji su svojstveni slučajnim pojavama zahtijevaju stvaranje posebnih matematičkih metoda za proučavanje tih pojava. Razvoj takvih metoda i uspostavljanje specifičnih obrazaca svojstvenih slučajnim pojavama glavni su zadaci teorije vjerojatnosti. Karakteristično je da se ovi obrasci ispunjavaju samo kada su slučajne pojave široko rasprostranjene. Štoviše, čini se da se pojedinačne karakteristike pojedinačnih slučajeva međusobno poništavaju, a prosječni rezultat za masu slučajnih pojava ispada da više nije slučajan, već potpuno prirodan . Ta je okolnost u velikoj mjeri bila razlogom široke uporabe probabilističkih metoda istraživanja u biologiji i medicini.

Razmotrimo osnovne pojmove teorije vjerojatnosti.

1.2. Vjerojatnost slučajnog događaja

Svaka znanost koja razvija opću teoriju bilo kojeg niza pojava temelji se na nizu osnovnih koncepata. Na primjer, u geometriji to su pojmovi točke, pravca; u mehanici - pojmovi sile, mase, brzine itd. Osnovni pojmovi postoje i u teoriji vjerojatnosti, jedan od njih je slučajni događaj.

Slučajni događaj je svaka pojava (činjenica) koja se može ili ne mora dogoditi kao rezultat iskustva (testiranja).

Slučajni događaji označeni su slovima A, B, C... itd. Evo nekoliko primjera slučajnih događaja:

A– pojava orla (grba) prilikom bacanja standardnog novčića;

U– rođenje djevojčice u datoj obitelji;

S– rođenje djeteta s unaprijed određenom tjelesnom težinom;

D– pojava epidemijske bolesti u određenom području u određenom vremenskom razdoblju i sl.

Glavna kvantitativna karakteristika slučajnog događaja je njegova vjerojatnost. Neka A- neki slučajni događaj. Vjerojatnost slučajnog događaja A je matematička veličina koja određuje mogućnost njegovog događanja. Određen je R(A).

Razmotrimo dvije glavne metode za određivanje ove vrijednosti.

Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja obično na temelju rezultata analize spekulativnih eksperimenata (testova), čija je bit određena uvjetima zadatka. U ovom slučaju, vjerojatnost slučajnog događaja GODIŠNJE) jednako je:

Gdje m– broj slučajeva koji pogoduju nastanku događaja A; n– ukupan broj jednako mogućih slučajeva.

Primjer 1: Laboratorijski štakor smješten je u labirint u kojem samo jedan od četiri moguća puta vodi do nagrade za hranu. Odredite vjerojatnost da štakor odabere ovaj put.

Riješenje: prema uvjetima zadatka iz četiri jednako moguća slučaja ( n=4) događaj A(štakor pronalazi hranu)
samo je jedan povoljan, tj. m= 1 Zatim R(A) = R(štakor nalazi hranu) = = 0,25 = 25%.

Primjer 2. U urni se nalazi 20 crnih i 80 bijelih kuglica. Iz njega se nasumično izvlači jedna kuglica. Odredite vjerojatnost da će ta kuglica biti crna.

Riješenje: broj svih kuglica u urni je ukupan broj jednako mogućih slučajeva n, tj. n = 20 + 80 = 100, od čega događaj A(uklanjanje crne kuglice) moguće je samo na 20, tj. m= 20. Zatim R(A) = R(h.s.) = = 0,2 = 20%.

Nabrojimo svojstva vjerojatnosti koja proizlaze iz njene klasične definicije - formule (1):

1. Vjerojatnost slučajnog događaja je bezdimenzionalna veličina.

2. Vjerojatnost slučajnog događaja je uvijek pozitivna i manja od jedan, tj. 0< P (A) < 1.

3. Vjerojatnost pouzdanog događaja, tj. događaja koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva ( m = n), jednako je jedan.

4. Vjerojatnost nemogućeg događaja ( m= 0) jednaka je nuli.

5. Vjerojatnost bilo kojeg događaja je vrijednost koja nije negativna i ne prelazi jedinicu:
0 £ P (A) £ 1.

Statističko određivanje vjerojatnosti slučajnog događaja koristi se kada je nemoguće koristiti klasičnu definiciju (1). To je često slučaj u biologiji i medicini. U ovom slučaju, vjerojatnost R(A) određuju se zbrajanjem rezultata stvarno provedenih nizova ispitivanja (eksperimenata).

Uvedimo pojam relativne učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja. Neka se izvede niz koji se sastoji od N eksperimenti (broj N može se odabrati unaprijed); događaj koji nas zanima A dogodilo u M od njih ( M < N). Omjer broja eksperimenata M, u kojem se dogodio ovaj događaj, na ukupan broj izvedenih eksperimenata N naziva se relativna učestalost pojavljivanja slučajnog događaja A u ovoj seriji eksperimenata - R* (A)

R*(A) = .

Eksperimentalno je utvrđeno da ako se niz testova (eksperimenata) provede pod istim uvjetima iu svakom od njih broj N je dovoljno velika, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti : malo se mijenja od epizode do epizode , približavajući se s povećanjem broja eksperimenata nekoj konstantnoj vrijednosti . Uzima se kao statistička vjerojatnost slučajnog događaja A:

R(A)= lim , sa N , (2)

Dakle, statistička vjerojatnost R(A) slučajni događaj A navedite granicu kojoj teži relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja s neograničenim povećanjem broja pokušaja (s N → ∞).

Približno je statistička vjerojatnost slučajnog događaja jednaka relativnoj učestalosti pojavljivanja tog događaja u velikom broju pokusa:

R(A)≈ P*(A)= (za velike N) (3)

Na primjer, u eksperimentima s bacanjem novčića, relativna učestalost ispadanja grba s 12.000 bacanja pokazala se jednakom 0,5016, a s 24.000 bacanja - 0,5005. U skladu s formulom (1):

P(grb) = = 0,5 = 50%

Primjer . Prilikom liječničkog pregleda 500 osoba, kod njih 5 dijagnosticiran je tumor na plućima (l.l.). Odredite relativnu učestalost i vjerojatnost ove bolesti.

Riješenje: prema uvjetima problema M = 5, N= 500, relativna frekvencija R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; jer N je dovoljno velika, možemo s dobrom točnošću pretpostaviti da je vjerojatnost postojanja tumora u plućima jednaka relativnoj učestalosti ovog događaja:

R(o.l.) = R*(v.l.) = 0,01 = 1%.

Prethodno navedena svojstva vjerojatnosti slučajnog događaja sačuvana su u statističkom određivanju ove vrijednosti.

1.3. Vrste slučajnih događaja. Osnovni teoremi teorije vjerojatnosti

Svi slučajni događaji mogu se podijeliti na:

¾ nekompatibilno;

¾ neovisno;

¾ ovisan.

Svaka vrsta događaja ima svoje karakteristike i teoreme teorije vjerojatnosti.

1.3.1. Nekompatibilni slučajni događaji. Teorem zbrajanja vjerojatnosti

Slučajni događaji (A, B, C,D...) nazivaju se nekompatibilnima , ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom pokusu.

Primjer1 . Baca se novčić. Kada padne, izgled "grba" eliminira pojavu "repova" (natpis koji određuje cijenu novčića). Događaji “pao grb” i “pala glava” su nespojivi.

Primjer 2 . Student koji na jednom ispitu dobije ocjenu “2”, ili “3”, ili “4”, ili “5” je nespojiv događaj, jer jedna od tih ocjena isključuje drugu na istom ispitu.

Za nekompatibilne slučajne događaje, teorem zbrajanja vjerojatnosti: vjerojatnost pojavljivanja jedan, ali nije važno koji, od nekoliko nekompatibilnih događaja A1, A2, A3 ... Ak jednak zbroju njihovih vjerojatnosti:

P(A1 ili A2...ili Ak) = P(A1) + P(A2) + …+ P(Ak). (4)

Primjer 3. U urni se nalazi 50 kuglica: 20 bijelih, 20 crnih i 10 crvenih. Nađite vjerojatnost pojave bijele boje (događaja A) ili crvena lopta (događaj U), kada je kuglica nasumično izvučena iz urne.

Rješenje: R(A ili B)= P(A)+ R(U);

R(A) = 20/50 = 0,4;

R(U) = 10/50 = 0,2;

R(A ili U)= P(b. š. ili k. š.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Primjer 4 . U razredu je 40 djece. Od toga u dobi od 7 do 7,5 godina 8 dječaka ( A) i 10 djevojaka ( U). Nađite vjerojatnost da u razredu bude djece ove dobi.

Rješenje: R(A)= 8/40 = 0,2; R(U) = 10/40 = 0,25.

P(A ili B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Sljedeći važan koncept je potpuna skupina događaja: nekoliko nekompatibilnih događaja čini potpunu skupinu događaja ako se samo jedan od događaja te skupine i niti jedan drugi ne može pojaviti kao rezultat svakog pokušaja.

Primjer 5 . Strijelac je ispalio hitac u metu. Svakako će se dogoditi jedan od sljedećih događaja: ulazak u “desetku”, “devetku”, “osmicu”,..., “jedinicu” ili promašaj. Ovih 11 nekompatibilnih događaja čine potpunu skupinu.

Primjer 6 . Na sveučilišnom ispitu student može dobiti jednu od sljedeće četiri ocjene: 2, 3, 4 ili 5. Ova četiri nespojiva događaja također čine potpunu skupinu.

Ako su nespojivi događaji A1, A2...Akčine potpunu skupinu, tada je zbroj vjerojatnosti tih događaja uvijek jednak jedan:

R(A1)+ R(A2)+ … R(Ak) = 1, (5)

Ova izjava se često koristi u rješavanju mnogih primijenjenih problema.

Ako su dva događaja jedina moguća i nespojiva, onda se nazivaju suprotnim i označavaju A I . Takvi događaji čine potpunu skupinu, pa je zbroj njihovih vjerojatnosti uvijek jednak jedan:

R(A)+ R() = 1. (6)

Primjer 7. Neka R(A) – vjerojatnost smrti od određene bolesti; poznata je i jednaka je 2%. Tada je vjerojatnost uspješnog ishoda ove bolesti 98% ( R() = 1 – R(A) = 0,98), budući da R(A) + R() = 1.

1.3.2. Neovisni slučajni događaji. Teorem množenja vjerojatnosti

Slučajne događaje nazivamo neovisnima ako pojava jednog od njih ni na koji način ne utječe na vjerojatnost pojave drugih događaja.

Primjer 1 . Ako postoje dvije ili više urni s obojenim kuglicama, tada izvlačenje bilo koje kuglice iz jedne urne neće utjecati na vjerojatnost izvlačenja drugih kuglica iz preostalih urni.

Za nezavisne događaje vrijedi teorem množenja vjerojatnosti: zajednička vjerojatnost(istodobna)pojava nekoliko neovisnih slučajnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

P(A1 i A2 i A3 ... i Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Zajedničko (istodobno) događanje događaja znači da se događaji događaju i A1, I A2, I A3… I Ak .

Primjer 2 . Dvije su urne. Jedna sadrži 2 crne i 8 bijelih kuglica, druga sadrži 6 crnih i 4 bijele kuglice. Neka događaj A- nasumično biranje bijele kuglice iz prve urne, U- iz drugog. Kolika je vjerojatnost da se iz ovih urni u isto vrijeme nasumično odabere bijela kugla, tj. koja je jednaka R (A I U)?

Riješenje: vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz prve urne
R(A) = = 0,8 od sekunde – R(U) = = 0,4. Vjerojatnost istovremenog izvlačenja bijele kuglice iz obje urne je
R(A I U) = R(A)· R(U) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Primjer 3: Prehrana siromašna jodom uzrokuje povećanje štitnjače u 60% životinja u velikoj populaciji. Za pokus su potrebne 4 povećane žlijezde. Odredite vjerojatnost da će 4 slučajno odabrane životinje imati povećanu štitnjaču.

Riješenje: Slučajni događaj A– slučajni odabir životinje s povećanom štitnjačom. Prema uvjetima problema, vjerojatnost ovog događaja R(A) = 0,6 = 60%. Tada će vjerojatnost zajedničke pojave četiri neovisna događaja - slučajnog odabira 4 životinje s povećanom štitnjačom - biti jednaka:

R(A 1 i A 2 i A 3 i A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Ovisni događaji. Teorem množenja vjerojatnosti za ovisne događaje

Slučajni događaji A i B nazivaju se ovisnima ako pojava jednog od njih, na primjer A, mijenja vjerojatnost pojave drugog događaja B. Stoga se za ovisne događaje koriste dvije vrijednosti vjerojatnosti: bezuvjetne i uvjetne vjerojatnosti .

Ako A I U ovisni događaji, zatim vjerojatnost događanja događaja U prvi (tj. prije događaja A) Zove se bezuvjetno vjerojatnost ovaj događaj je određen R(U). Vjerojatnost događanja događaja U pod uvjetom da događaj A se već dogodilo, zove se uvjetna vjerojatnost događanja U i naznačen je R(U/A) ili RA(U).

bezuvjetno - R(A) i uvjetno – R(A/B) vjerojatnost za događaj A.

Teorem množenja vjerojatnosti za dva zavisna događaja: vjerojatnost istodobne pojave dvaju zavisnih događaja A i B jednaka je umnošku bezuvjetne vjerojatnosti prvog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog:

R(A i B)= P(A)∙P(V/A) , (8)

A, ili

R(A i B)= P(U)∙P(A/B), (9)

ako se događaj dogodi prvi U.

Primjer 1. U urni se nalaze 3 crne kugle i 7 bijelih kugli. Odredite vjerojatnost da će 2 bijele kugle biti izvučene iz ove urne jedna za drugom (a da prva kugla ne bude vraćena u urnu).

Riješenje: vjerojatnost dobivanja prve bijele lopte (događaj A) jednako je 7/10. Nakon što je uklonjena, u urni je ostalo 9 kuglica, od kojih je 6 bijelih. Tada je vjerojatnost pojavljivanja druge bijele kuglice (događaj U) je jednako R(U/A) = 6/9, a vjerojatnost da dobijete dvije bijele kuglice za redom je

R(A I U) = R(A)∙R(U/A) = = 0,47 = 47%.

Navedeni teorem za množenje vjerojatnosti za zavisne događaje može se generalizirati na bilo koji broj događaja. Konkretno, za tri međusobno povezana događaja:

R(A I U I S)= P(A)∙ R(V/A)∙ R(S/AB). (10)

Primjer 2. Do izbijanja zarazne bolesti došlo je u dva dječja vrtića, a svaki pohađa 100 djece. Udio oboljelih je 1/5 odnosno 1/4, i to u prvoj ustanovi 70%, au drugoj 60% oboljelih - djece do 3 godine. Nasumično je odabrano jedno dijete. Odredite vjerojatnost da:

1) odabrano dijete ide u prvi vrtić (događaj A) i bolestan (događaj U).

2) odabrano je dijete iz drugog vrtića (događaj S), bolestan (događaj D) i starije od 3 godine (event E).

Riješenje. 1) tražena vjerojatnost –

R(A I U) = R(A) ∙ R(U/A) = = 0,1 = 10%.

2) tražena vjerojatnost:

R(S I D I E) = R(S) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Bayesova formula

Ako je vjerojatnost supojavljivanja zavisnih događaja A I U ne ovisi o redoslijedu kojim se pojavljuju, dakle R(A I U)= P(A)∙P(V/A)= P(U) × R(A/B). U ovom slučaju, uvjetna vjerojatnost jednog od događaja može se pronaći poznavanjem vjerojatnosti oba događaja i uvjetne vjerojatnosti drugog:

R(V/A) = (11)

Generalizacija ove formule za slučaj mnogih događaja je Bayesova formula.

Neka " n» nekompatibilni slučajni događaji N1, N2, …, Nn tvore cjelovitu grupu događaja. Vjerojatnosti ovih događaja su R(H1), R(H2), …, R(Nn) su poznati i budući da čine potpunu grupu, tada je = 1.

Neki slučajni događaj A vezano uz događaje N1, N2, …, Nn, a poznate su uvjetne vjerojatnosti nastanka događaja A sa svakim od događaja Nja, tj. poznato R(A/H1), R(A/H2), …, R(A/Nn). U ovom slučaju, zbroj uvjetnih vjerojatnosti R(A/Nja) ne mora biti jednaka jedinici, tj. ≠ 1.

Zatim uvjetna vjerojatnost događanja događaja Nja kada se događaj realizira A(tj. pod uvjetom da događaj A dogodilo) određuje Bayesova formula :

Štoviše, za ove uvjetne vjerojatnosti .

Bayesova formula našla je široku primjenu ne samo u matematici, već iu medicini. Na primjer, koristi se za izračunavanje vjerojatnosti određenih bolesti. Dakle, ako N 1,…, Nn– očekivane dijagnoze za ovog bolesnika, A- neki znak vezan uz njih (simptom, određeni pokazatelj krvne slike, analize urina, detalj rendgenske snimke itd.) i uvjetne vjerojatnosti R(A/Nja) manifestacije ovog simptoma sa svakom dijagnozom Nja (ja = 1,2,3,…n) su unaprijed poznate, tada nam Bayesova formula (12) omogućuje izračunavanje uvjetnih vjerojatnosti bolesti (dijagnoza) R(Nja/A) nakon što je utvrđeno da je karakteristično svojstvo A prisutan kod pacijenta.

Primjer 1. Tijekom inicijalnog pregleda pacijenta pretpostavljaju se 3 dijagnoze N 1, N 2, N 3. Njihove su vjerojatnosti, prema liječniku, raspoređene na sljedeći način: R(N 1) = 0,5; R(N 2) = 0,17; R(N 3) = 0,33. Stoga se prva dijagnoza čini okvirno najizglednijom. Da bi se to razjasnilo, na primjer, propisan je krvni test u kojem se očekuje povećanje ESR (događaj A). Unaprijed je poznato (na temelju rezultata istraživanja) da su vjerojatnosti povećanja ESR-a kod sumnje na bolesti jednake:

R(A/N 1) = 0,1; R(A/N 2) = 0,2; R(A/N 3) = 0,9.

Rezultirajuća analiza bilježi povećanje ESR (događaj A dogodilo). Tada izračun pomoću Bayesove formule (12) daje vjerojatnosti očekivanih bolesti s povećanom vrijednošću ESR: R(N 1/A) = 0,13; R(N 2/A) = 0,09;
R(N 3/A) = 0,78. Ove brojke pokazuju da, uzimajući u obzir laboratorijske podatke, najrealnija nije prva, već treća dijagnoza, čija se vjerojatnost sada pokazala prilično velikom.

Gornji primjer najjednostavnija je ilustracija kako pomoću Bayesove formule možete formalizirati liječničku logiku prilikom postavljanja dijagnoze i zahvaljujući tome kreirati računalne dijagnostičke metode.

Primjer 2. Odredite vjerojatnost koja procjenjuje stupanj rizika od perinatalne* smrtnosti djece u žena s anatomski uskom zdjelicom.

Riješenje: neka događaj N 1 – uspješan porod. Prema kliničkim izvješćima, R(N 1) = 0,975 = 97,5%, tada ako H2– činjenica perinatalnog mortaliteta, dakle R(N 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Označimo A– činjenica da porodilja ima usku zdjelicu. Iz provedenih studija znamo: a) R(A/N 1) – vjerojatnost uske zdjelice tijekom povoljnog poroda, R(A/N 1) = 0,029, b) R(A/N 2) – vjerojatnost uske zdjelice s perinatalnim mortalitetom,
R(A/N 2) = 0,051. Tada se željena vjerojatnost perinatalnog mortaliteta kod rodilja s uskom zdjelicom izračunava pomoću Baysove formule (12) i jednaka je:


Dakle, rizik od perinatalne smrtnosti kod anatomski uske zdjelice znatno je veći (gotovo dvostruko) od prosječnog rizika (4,4% prema 2,5%).

Takvi izračuni, koji se obično izvode pomoću računala, temelj su metoda za formiranje skupina pacijenata s povećanim rizikom povezanim s prisutnošću određenog otegotnog čimbenika.

Bayesova formula vrlo je korisna za procjenu mnogih drugih medicinskih i bioloških situacija, koje će postati očigledne prilikom rješavanja problema danih u priručniku.

1.5. O slučajnim događajima s vjerojatnostima blizu 0 ili 1

Pri rješavanju mnogih praktičnih problema treba se suočiti s događajima čija je vjerojatnost vrlo mala, odnosno blizu nule. Na temelju iskustva u vezi s takvim događajima, usvojeno je sljedeće načelo. Ako slučajni događaj ima vrlo malu vjerojatnost, tada možemo praktički pretpostaviti da se on neće dogoditi ni u jednom testu, drugim riječima, mogućnost njegovog pojavljivanja se može zanemariti. Odgovor na pitanje kolika bi ta vjerojatnost trebala biti određena je suštinom problema koji se rješava i koliko je za nas važan rezultat predviđanja. Na primjer, ako je vjerojatnost da se padobran neće otvoriti tijekom skoka 0,01, tada je uporaba takvih padobrana neprihvatljiva. Međutim, ista vjerojatnost od 0,01 da će dugolinijski vlak kasniti čini nas gotovo sigurnima da će stići na vrijeme.

Dovoljno mala vjerojatnost pri kojoj se (u danom specifičnom problemu) događaj može smatrati praktički nemogućim naziva se razina značaja. U praksi se razina značajnosti obično uzima jednakom 0,01 (razina značajnosti od jedan posto) ili 0,05 (razina značajnosti od pet posto), a mnogo rjeđe uzima se jednaka 0,001.

Uvođenje razine značajnosti omogućuje nam da ustvrdimo da ako neki događaj A gotovo nemoguće, onda obrnuti događaj - praktički pouzdan, tj. za njega R() » 1.

PoglavljeII. SLUČAJNE VARIJABLE

2.1. Slučajne varijable, njihove vrste

Kvantiteta je u matematici opći naziv za različite kvantitativne karakteristike objekata i pojava. Duljina, površina, temperatura, tlak itd. primjeri su različitih veličina.

Količina koja poprima različite numeričke vrijednosti pod utjecajem slučajnih okolnosti, nazivaju se slučajna varijabla. Primjeri slučajnih varijabli: broj pacijenata na pregledu kod liječnika; točne dimenzije ljudskih unutarnjih organa itd.

Razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne varijable .

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ako uzima samo određene različite vrijednosti koje se mogu identificirati i nabrojati.

Primjeri diskretne slučajne varijable su:

– broj učenika u publici – može biti samo pozitivan cijeli broj: 0,1,2,3,4….. 20…..;

– broj koji se pojavljuje na gornjoj strani prilikom bacanja kocke – može imati samo cjelobrojne vrijednosti od 1 do 6;

– relativna učestalost pogađanja cilja s 10 hitaca – njezine vrijednosti: 0; 0,1; 0,2; 0,3…1

– broj događaja koji su se dogodili u istim vremenskim razdobljima: otkucaji srca, broj poziva hitne pomoći po satu, broj operacija mjesečno sa smrtnim ishodom itd.

Slučajna varijabla se naziva kontinuiranom ako može poprimiti bilo koju vrijednost unutar određenog intervala, koji ponekad ima jasno definirane granice, a ponekad ih nema.*. U kontinuirane slučajne varijable ubrajaju se npr. tjelesna težina i visina odraslih osoba, tjelesna težina i volumen mozga, kvantitativni sadržaj enzima kod zdravih ljudi, veličina krvnih stanica, R N krvi itd.

Koncept slučajne varijable igra odlučujuću ulogu u modernoj teoriji vjerojatnosti, koja je razvila posebne tehnike za prijelaz sa slučajnih događaja na slučajne varijable.

Ako slučajna varijabla ovisi o vremenu, onda možemo govoriti o slučajnom procesu.

2.2. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Da bismo dali potpuni opis diskretne slučajne varijable, potrebno je navesti sve njene moguće vrijednosti i njihove vjerojatnosti.

Podudarnost između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihove vjerojatnosti naziva se zakon distribucije ove varijable.

Označimo moguće vrijednosti slučajne varijable x kroz xja, a odgovarajuće vjerojatnosti – kroz Rja *. Tada se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može zadati na tri načina: u obliku tablice, grafikona ili formule.

U tablici koja se naziva serija distribucije, navodi sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable x i odgovarajuće vjerojatnosti R(x):

x

…..

…..

P(x)

…..

…..

U ovom slučaju, zbroj svih vjerojatnosti Rja mora biti jednaka jedinici (uvjet normalizacije):

Rja = str1 + str2 + ... + pn = 1. (13)

Grafički zakon je prikazan isprekidanom linijom, koja se obično naziva poligon distribucije (slika 1). Ovdje su sve moguće vrijednosti slučajne varijable iscrtane duž horizontalne osi xja, , a po okomitoj osi – pripadajuće vjerojatnosti Rja

Analitički zakon se izražava formulom. Na primjer, ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem R, zatim vjerojatnost pogađanja mete 1 put u n snimaka dano je formulom R(n) = n qn-1 × str, Gdje q= 1 – str– vjerojatnost promašaja s jednim hicem.

2.3. Zakon distribucije kontinuirane slučajne varijable. Funkcija gustoće vjerojatnosti

Za kontinuirane slučajne varijable nemoguće je primijeniti zakon raspodjele u gore navedenim oblicima, budući da takva varijabla ima bezbroj ("nebrojen") skup mogućih vrijednosti koje u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Stoga je nemoguće napraviti tablicu koja ispisuje sve njegove moguće vrijednosti ili konstruirati distribucijski poligon. Osim toga, vjerojatnost bilo koje određene vrijednosti je vrlo mala (blizu 0)*. U isto vrijeme, različita područja (intervali) mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nisu jednako vjerojatna. Dakle, iu ovom slučaju djeluje određeni zakon raspodjele, ali ne u prijašnjem smislu.

Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu x, čije moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval (A, b)**. Zakon distribucije vjerojatnosti takve vrijednosti trebao bi omogućiti pronalaženje vjerojatnosti da njezina vrijednost padne u bilo koji zadani interval ( x1, x2), leži unutra ( A,b), sl.2.

Ova vjerojatnost je označena R(x1< Х < х2 ), ili
R(x1£ x£ x2).

Razmotrimo najprije vrlo mali raspon vrijednosti x– od x prije ( x +Dx); vidi sl.2. Mala vjerojatnost dR da je slučajna varijabla xće uzeti neku vrijednost iz intervala ( x, x +Dx), bit će proporcionalna veličini ovog intervala DX:dR~ Dx, odnosno uvođenjem koeficijenta proporcionalnosti f, koji i sam može ovisiti o x, dobivamo:

dP =f(x) × D x =f(x) × dx (14)

Ovdje predstavljena funkcija f(x) Zove se gustoća distribucije vjerojatnosti nasumična varijabla X, ili, ukratko, gustoća vjerojatnosti, gustoća distribucije. Jednadžba (13) je diferencijalna jednadžba čije rješenje daje vjerojatnost pogađanja vrijednosti x u intervalu ( x1,x2):

R(x1<x<x2) = f(x) dX. (15)

Grafički vjerojatnost R(x1<x<x2) jednaka je površini krivuljastog trapeza omeđenog apscisnom osi krivulje f(x) i ravno X = x1 i X = x2(slika 3). To proizlazi iz geometrijskog značenja krivulje određenog integrala (15). f(x) naziva se krivulja distribucije.

Iz (15) proizlazi da ako je funkcija poznata f(x), tada, promjenom granica integracije, možemo pronaći vjerojatnost za bilo koji interval koji nas zanima. Stoga je zadaća funkcije f(x) u potpunosti određuje zakon distribucije za kontinuirane slučajne varijable.

Za gustoću vjerojatnosti f(x) uvjet normalizacije mora biti zadovoljen u obliku:

f(x) dx = 1, (16)

ako se zna da sve vrijednosti x leže u intervalu ( A,b), ili u obliku:

f(x) dx = 1, (17)

ako su granice intervala za vrijednosti x definitivno neizvjestan. Uvjeti za normalizaciju gustoće vjerojatnosti (16) ili (17) posljedica su činjenice da su vrijednosti slučajne varijable x pouzdano leže unutar ( A,b) ili (-¥, +¥). Iz (16) i (17) slijedi da je površina figure omeđena krivuljom distribucije i x-osom uvijek jednaka 1 .

2.4. Osnovne numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Rezultati prikazani u paragrafima 2.2 i 2.3 pokazuju da se potpuni opis diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli može dobiti poznavanjem zakona njihove distribucije. Međutim, u mnogim praktično značajnim situacijama koriste se takozvane numeričke karakteristike slučajnih varijabli čija je glavna svrha da u sažetom obliku izraze najznačajnija obilježja distribucije slučajnih varijabli. Važno je da ti parametri predstavljaju specifične (konstantne) vrijednosti koje se mogu procijeniti korištenjem podataka dobivenih u eksperimentima. Ovim se procjenama bavi “Opisna statistika”.

U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici koristi se dosta različitih karakteristika, no mi ćemo razmotriti samo one najčešće korištene. Štoviše, samo za neke od njih predstavit ćemo formule po kojima se izračunavaju njihove vrijednosti; u drugim slučajevima izračune ćemo prepustiti računalu.

Razmotrimo karakteristike položaja – matematičko očekivanje, mod, medijan.

Oni karakteriziraju položaj slučajne varijable na osi brojeva , tj. označavaju neku približnu vrijednost oko koje se grupiraju sve moguće vrijednosti slučajne varijable. Među njima najvažniju ulogu ima matematičko očekivanje M(x).

OPĆINSKA OBRAZOVNA USTANOVA

GIMNAZIJA br.6

na temu “Klasična definicija vjerojatnosti”.

Ispunila učenica 8. „B“ razreda.

Klimantova Aleksandra.

Učitelj matematike: Videnkina V. A.

Voronjež, 2008


Mnoge igre koriste kockice. Kocka ima 6 stranica, svaka strana ima označen različit broj točkica, od 1 do 6. Igrač baca kockicu i gleda koliko točaka ima na ispuštenoj strani (na strani koja se nalazi na vrhu) . Često se točke na plohi kocke zamijene odgovarajućim brojem i tada se govori o izbacivanju 1, 2 ili 6. Bacanje kocke može se smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobiveni rezultat je ishod testa ili elementarni događaj. Ljudi su zainteresirani za pogađanje pojave ovog ili onog događaja i predviđanje njegovog ishoda. Koja predviđanja mogu dati kad bacaju kockice? Na primjer, ove:

1) događaj A - broj 1, 2, 3, 4, 5 ili 6 je bačen;

2) događaj B - pojavljuje se broj 7, 8 ili 9;

3) događaj C - pojavljuje se broj 1.

Događaj A, predviđen u prvom slučaju, sigurno će se dogoditi. Općenito, događaj za koji je sigurno da će se dogoditi u određenom iskustvu naziva se pouzdan događaj .

Događaj B, predviđen u drugom slučaju, nikada se neće dogoditi, to je jednostavno nemoguće. Općenito, događaj koji se ne može dogoditi u danom iskustvu naziva se nemoguć događaj .

I hoće li se događaj C, predviđen u trećem slučaju, dogoditi ili ne? Ne možemo s potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, jer 1 može, ali i ne mora ispasti. Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u danom iskustvu naziva se slučajni događaj .

Kada razmišljamo o pojavi pouzdanog događaja, najvjerojatnije nećemo koristiti riječ “vjerojatno”. Na primjer, ako je danas srijeda, a sutra je četvrtak, ovo je pouzdan događaj. U srijedu nećemo reći: “Vjerojatno je sutra četvrtak”, reći ćemo kratko i jasno: “Sutra je četvrtak”. Istina, ako smo skloni lijepim frazama, možemo reći ovo: "Sa stopostotnom vjerojatnošću kažem da je sutra četvrtak." Naprotiv, ako je danas srijeda, onda je početak petka sutra nemoguć događaj. Ocjenjujući ovaj događaj u srijedu, možemo reći sljedeće: "Siguran sam da sutra nije petak." Ili ovo: "Nevjerojatno je da je sutra petak." Pa, ako smo skloni lijepim frazama, možemo reći ovo: “Vjerojatnost da je sutra petak je nula.” Dakle, pouzdani događaj je događaj koji se dogodi u danim uvjetima sa stopostotnom vjerojatnošću(tj. javlja se u 10 slučajeva od 10, u 100 slučajeva od 100, itd.). Nemogući događaj je događaj koji se nikada ne dogodi u danim uvjetima, događaj s nultom vjerojatnošću .

Ali, nažalost (a možda i na sreću), nije sve u životu tako jasno i precizno: uvijek će biti (određeni događaj), neće biti nikada (nemogući događaj). Najčešće se susrećemo sa slučajnim događajima od kojih su neki vjerojatniji, drugi manje vjerojatni. Obično ljudi koriste riječi "vjerojatnije" ili "manje vjerojatno", kako kažu, iz hira, oslanjajući se na ono što se zove zdrav razum. Ali vrlo često se takve procjene pokažu nedostatnima, jer je važno znati kako dugo posto vjerojatno slučajan događaj ili koliko puta jedan je slučajni događaj vjerojatniji od drugog. Drugim riječima, trebamo točne kvantitativni karakteristike, morate biti u stanju okarakterizirati vjerojatnost brojem.

Već smo napravili prve korake u tom smjeru. Rekli smo da se vjerojatnost događanja određenog događaja karakterizira kao sto posto, a vjerojatnost da se dogodi nemoguć događaj je kao nula. S obzirom da je 100% jednako 1, ljudi su se složili oko sljedećeg:

1) vjerojatnost pouzdanog događaja smatra se jednakom 1;

2) vjerojatnost nemogućeg događaja smatra se jednakom 0.

Kako izračunati vjerojatnost slučajnog događaja? Uostalom, dogodilo se slučajno, što znači da ne poštuje zakone, algoritme ili formule. Ispostavilo se da u svijetu slučajnosti vrijede određeni zakoni koji omogućuju izračunavanje vjerojatnosti. Ovo je grana matematike koja se zove - teorija vjerojatnosti .

Matematika se bavi model neki fenomen stvarnosti oko nas. Od svih modela koji se koriste u teoriji vjerojatnosti, ograničit ćemo se na najjednostavniji.

Klasična probabilistička shema

Da biste pronašli vjerojatnost događaja A pri provođenju nekog eksperimenta, trebali biste:

1) pronađite broj N svih mogućih ishoda ovog eksperimenta;

2) prihvatiti pretpostavku jednake vjerojatnosti (jednake mogućnosti) svih ovih ishoda;

3) pronaći broj N(A) onih eksperimentalnih ishoda u kojima se pojavljuje događaj A;

4) nađi kvocijent ; bit će jednaka vjerojatnosti događaja A.

Uobičajeno je da se vjerojatnost događaja A označava s P(A). Objašnjenje za ovu oznaku je vrlo jednostavno: riječ "vjerojatnost" na francuskom je vjerojatnost, na engleskom- vjerojatnost.Oznaka koristi prvo slovo riječi.

Koristeći ovu oznaku, vjerojatnost događaja A prema klasičnoj shemi može se pronaći pomoću formule

P(A)=.

Često su sve točke gornje klasične probabilističke sheme izražene u jednoj prilično dugoj frazi.

Klasična definicija vjerojatnosti

Vjerojatnost događaja A tijekom određenog testa je omjer broja ishoda uslijed kojih se događa događaj A prema ukupnom broju svih jednako mogućih ishoda ovog testa.

Primjer 1. Odredite vjerojatnost da će u jednom bacanju kocke rezultat biti: a) 4; b) 5; c) paran broj bodova; d) broj bodova veći od 4; e) broj bodova nedjeljiv s tri.

Riješenje. Ukupno postoji N=6 mogućih ishoda: ispadanje s površine kocke s brojem bodova jednakim 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Vjerujemo da nijedan od njih nema prednosti u odnosu na druge, tj. prihvatiti pretpostavku da je jednaka vjerojatnost ovih ishoda.

a) U točno jednom od ishoda dogodit će se događaj A koji nas zanima—pojavit će se broj 4. To znači da je N(A)=1 i

P ( A )= =.

b) Rješenje i odgovor isti su kao u prethodnom odlomku.

c) Događaj B koji nas zanima dogodit će se u točno tri slučaja kada je broj bodova 2, 4 ili 6. To znači

N ( B )=3 i P ( B )==.

d) Događaj C koji nas zanima dogodit će se u točno dva slučaja kada je broj bodova 5 ili 6. To znači

N ( C ) =2 i R(S)=.

e) Od šest mogućih izvučenih brojeva četiri (1, 2, 4 i 5) nisu višekratnik tri, a preostala dva (3 i 6) su djeljiva s tri. To znači da se događaj koji nas zanima događa u točno četiri od šest mogućih i jednako vjerojatnih i jednako vjerojatnih ishoda eksperimenta. Stoga se ispostavlja da je odgovor

. ; b) ; V) ; G) ; d).

Prava kocka može se razlikovati od idealne (modelne) kocke, stoga je za opisivanje njezina ponašanja potreban točniji i detaljniji model, uzimajući u obzir prednosti jednog lica nad drugim, moguću prisutnost magneta itd. Ali "vrag je u detaljima", a veća točnost dovodi do veće složenosti, a dobivanje odgovora postaje problem. Ograničavamo se na razmatranje najjednostavnijeg probabilističkog modela, gdje su svi mogući ishodi jednako vjerojatni.

Napomena 1. Pogledajmo još jedan primjer. Postavljeno je pitanje: "Koja je vjerojatnost da dobijete tri na jednom bacanju kocke?" Student je odgovorio: "Vjerojatnost je 0,5." I obrazložio je svoj odgovor: “Tri će ili doći ili neće. To znači da postoje ukupno dva ishoda i da se u točno jednom od njih događa događaj koji nas zanima. Korištenjem klasične probabilističke sheme dobivamo odgovor 0,5.” Postoji li greška u ovom razmišljanju? Na prvi pogled ne. Međutim, ona još uvijek postoji, i to u temeljnom smislu. Da, doista, trojka će se ili pojaviti ili ne, tj. s ovom definicijom ishoda ždrijeba N=2. Također je točno da je N(A) = 1 i, naravno, točno je da

=0,5, tj. tri točke probabilističke sheme su uzete u obzir, ali je provedba točke 2) upitna. Naravno, s čisto pravne točke gledišta, imamo pravo vjerovati da je bacanje trojke jednako vjerojatno da neće ispasti. Ali možemo li tako misliti bez kršenja vlastitih prirodnih pretpostavki o "istovjetnosti" rubova? Naravno da ne! Ovdje se radi o ispravnom zaključivanju unutar određenog modela. Ali ovaj model je sam po sebi "pogrešan", ne odgovara stvarnom fenomenu.

Napomena 2. Kada raspravljate o vjerojatnosti, nemojte izgubiti iz vida sljedeću važnu okolnost. Ako kažemo da prilikom bacanja kocke, vjerojatnost dobivanja jednog boda je

, to uopće ne znači da ćete bacanjem kocke 6 puta dobiti jedan bod točno jednom, bacanjem kocke 12 puta dobit ćete po jedan bod točno dva puta, bacanjem kocke 18 puta dobit ćete jedan bod točno tri vremena itd. Riječ je vjerojatno špekulativna. Pretpostavljamo što će se najvjerojatnije dogoditi. Vjerojatno ako bacimo kocku 600 puta, jedan bod će se pojaviti 100 puta, ili oko 100.

Razne definicije vjerojatnosti slučajnog događaja

Teorija vjerojatnosti- matematička znanost koja na temelju vjerojatnosti nekih događaja omogućuje procjenu vjerojatnosti drugih događaja povezanih s prvim.

Potvrda da koncept “vjerojatnosti događaja” nema definiciju je činjenica da u teoriji vjerojatnosti postoji nekoliko pristupa objašnjenju ovog pojma:

Klasična definicija vjerojatnosti slučajni događaj .

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja eksperimentalnih ishoda koji su povoljni za događaj i ukupnog broja eksperimentalnih ishoda.

Gdje

Broj povoljnih ishoda iskustva;

Ukupan broj ishoda eksperimenta.

Ishod iskustva se zove povoljan za događaj, ako se događaj pojavio na ovom ishodu eksperimenta. Na primjer, ako je događaj pojavljivanje crvenog kartona, tada je pojavljivanje asa karo ishod koji je povoljan za događaj.

Primjeri.

1) Vjerojatnost da dobijete 5 bodova na licu kockice je , budući da kockica može pasti na bilo koje od 6 lica prema gore, a 5 bodova je na samo jednoj licu.

2) Vjerojatnost da grb ispadne pri jednom bacanju novčića je , budući da novčić može pasti na glavu ili rep - postoje dva ishoda eksperimenta, a grb je prikazan samo na jednoj strani novčića .

3) Ako se u urni nalazi 12 kuglica, od kojih je 5 crnih, tada je vjerojatnost vađenja crne kuglice , budući da ima ukupno 12 ishoda i 5 povoljnih

Komentar. Klasična definicija vjerojatnosti primjenjiva je pod dva uvjeta:

1) svi ishodi eksperimenta moraju biti jednako vjerojatni;

2) eksperiment mora imati konačan broj ishoda.

U praksi može biti teško dokazati da su događaji jednako vjerojatni: na primjer, kada se izvodi eksperiment s bacanjem novčića, na rezultat eksperimenta mogu utjecati čimbenici kao što su asimetrija novčića, utjecaj njegovog oblika o aerodinamičkim karakteristikama leta, atmosferskim uvjetima itd., osim toga, postoje eksperimenti s beskonačnim brojem ishoda.

Primjer . Dijete baca loptu, a najveća udaljenost na koju može baciti loptu je 15 metara. Odredite vjerojatnost da će lopta preletjeti preko oznake 3 m.

Riješenje.Predlaže se da se željena vjerojatnost smatra omjerom duljine segmenta koji se nalazi iza oznake od 3 m (povoljno područje) i duljine cijelog segmenta (svi mogući ishodi):

Primjer. Točka je nasumično bačena u krug polumjera 1. Kolika je vjerojatnost da će točka pasti u kvadrat upisan u krug?

Riješenje.Vjerojatnost da će točka pasti u kvadrat se u ovom slučaju shvaća kao omjer površine kvadrata (povoljnog područja) prema površini kruga (ukupne površine figure na kojoj je točka baca se):

Dijagonala kvadrata je 2 i izražava se kroz njegovu stranicu pomoću Pitagorinog teorema:

Slično razmišljanje provodi se u prostoru: ako je točka slučajno odabrana u volumenskom tijelu, tada se vjerojatnost da će točka biti u dijelu volumenskog tijela izračunava kao omjer volumena povoljnog dijela i ukupnog volumena tijela:

Kombinirajući sve slučajeve, možemo formulirati pravilo za izračunavanje geometrijske vjerojatnosti:

Ako je točka slučajno odabrana u određenom području, tada je vjerojatnost da će se točka nalaziti u dijelu tog područja jednaka:

, Gdje

Označava mjeru površine: kod odsječka to je duljina, kod ravne površine to je površina, kod prostornog tijela to je obujam, kod površine – površina, na krivulji – duljina krivulje.

Zanimljiva primjena koncepta geometrijske vjerojatnosti je problem susreta.

Zadatak. (O sastanku)

Dva studenta su se dogovorila da će se naći npr. u 10 sati ujutro pod sljedećim uvjetima: svaki dođe u bilo koje vrijeme tijekom sata od 10 do 11 i pričeka 10 minuta, nakon čega odlazi. Koja je vjerojatnost susreta?

Riješenje.Ilustrirajmo uvjete problema na sljedeći način: na osi nanesemo vrijeme proteklo za prvu od naišlih, a na osi nanesemo vrijeme proteklo za drugu. Budući da pokus traje jedan sat, na obje osi nanosimo odsječke duljine 1. Trenutke vremena u kojima su dva stigla u isto vrijeme interpretiramo dijagonalom kvadrata.

Neka prvi stigne u nekom trenutku. Učenici će se susresti ako je vrijeme dolaska drugog na zborno mjesto unutar intervala

Argumentirajući na ovaj način za bilo koji trenutak u vremenu, dobivamo da se područje vremena koje tumači mogućnost susreta („presjek vremena“ prvog i drugog učenika koji su na pravom mjestu) nalazi između dvije ravne linije: i . Vjerojatnost sastanka određena je formulom geometrijske vjerojatnosti:

Godine 1933. Kolmogorov A.M. (1903. - 1987.) predložio je aksiomatski pristup konstrukciji i prikazu teorije vjerojatnosti, koji je danas postao općeprihvaćen. Pri konstruiranju teorije vjerojatnosti kao formalne aksiomatske teorije potrebno je ne samo uvesti osnovni pojam - vjerojatnost slučajnog događaja, već i opisati njegova svojstva pomoću aksioma (intuitivno istinitih tvrdnji prihvaćenih bez dokaza).

Takvi iskazi su iskazi analogni svojstvima relativne učestalosti pojavljivanja događaja.

Relativna učestalost pojavljivanja slučajnog događaja je omjer broja pojavljivanja događaja u testovima prema ukupnom broju obavljenih testova:

Očito, za pouzdan događaj, za nemoguć događaj, za nekompatibilne događaje vrijedi sljedeće:

Primjer. Ilustrirajmo posljednju tvrdnju. Neka se karte izvlače iz špila od 36 karata. Neka događaj znači pojavu karo, događaj pojavu srca, a događaj pojavu crvenog kartona. Očito su događaji nespojivi. Kada se pojavi crvena boja, stavljamo oznaku u blizini događaja, kada se pojave karo, u blizini događaja, a kada se pojave srca, u blizini događaja. Očigledno, oznaka u blizini događaja bit će postavljena ako i samo ako je oznaka postavljena u blizini događaja ili u blizini događaja, tj. .

Nazovimo vjerojatnost slučajnog događaja broj pridružen događaju prema sljedećem pravilu:

Za nespojive događaje i

Tako,

Relativna frekvencija

Pogledajmo klasičnu definiciju vjerojatnosti pomoću formula i primjera.

Slučajni događaji se nazivaju nekompatibilan, ako se ne mogu pojaviti istovremeno. Na primjer, kada bacamo novčić, pojavit će se jedna stvar - "grb" ili broj, a ne mogu se pojaviti u isto vrijeme, jer je logično da je to nemoguće. Događaji poput pogotka i promašaja nakon šuta mogu biti nekompatibilni.

Slučajni događaji oblika konačnog skupa puna grupa upareno nekompatibilnih događaja, ako se tijekom svakog pokušaja pojavi jedan, i samo jedan od tih događaja - jedini mogući.

Pogledajmo isti primjer bacanja novčića:

Prvi novčić Drugi novčić Događaji

1) "grb" "grb"

2) “grb” “broj”

3) “broj” “grb”

4) "broj" "broj"

Ili skraćeno kao "GG", - "GC", - "CHG", - "CHCH".

Događaji se zovu jednako moguće, ako uvjeti istraživanja pružaju jednaku mogućnost za pojavu svakog od njih.

Kao što razumijete, kada bacite simetrični novčić, onda ima iste mogućnosti, a postoji šansa da će se pojaviti i "grb" i "broj". Isto vrijedi i za bacanje simetrične kocke, jer postoji mogućnost da se pojave lica s bilo kojim brojem 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Recimo da sada kocku bacimo s pomakom u težištu, na primjer, prema strani s brojem 1, tada će najčešće ispasti suprotna strana, odnosno stranica s drugim brojem. Tako će u ovom modelu mogućnosti pojavljivanja za svaki od brojeva od 1 do 6 biti različite.

Jednako mogući i jedinstveno mogući slučajni događaji nazivaju se slučajevi.

Postoje slučajni događaji koji su slučajevi, a postoje slučajni događaji koji nisu slučajevi. U nastavku ćemo pogledati te događaje koristeći primjere.

Oni slučajevi uslijed kojih dolazi do slučajnog događaja nazivaju se povoljnim slučajevima za taj događaj.

Označimo li s , koji utječu na događaj u svim mogućim slučajevima, i s - vjerojatnost slučajnog događaja, tada možemo napisati dobro poznatu klasičnu definiciju vjerojatnosti:

Definicija

Vjerojatnost događaja je omjer broja slučajeva koji pogoduju tom događaju prema ukupnom broju svih mogućih slučajeva, odnosno:

Svojstva vjerojatnosti

Razmotrili smo klasičnu vjerojatnost, a sada pogledajmo osnovna i važna svojstva vjerojatnosti.

Svojstvo 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.

Na primjer, ako su sve kuglice u kanti bijele, tada na događaj , odabir bijele kuglice nasumično, utječu slučajevi, .

Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj:

To znači da vjerojatnost bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakost:

Riješimo sada nekoliko primjera koristeći klasičnu definiciju vjerojatnosti.

Primjeri klasične definicije vjerojatnosti

Primjer 1

Zadatak

U košari se nalazi 20 loptica od kojih je 10 bijelih, 7 crvenih i 3 crne. Nasumično se bira jedna kuglica. Odabrane su bijela kugla (događaj), crvena kugla (događaj) i crna kugla (događaj). Odredite vjerojatnost slučajnih događaja.

Riješenje

Prema uvjetima problema doprinose, a od mogućih slučajeva, dakle, prema formuli (1):

– vjerojatnost bijele kuglice.

Isto tako i za crveno:

A za crno: .

Odgovor

Vjerojatnost slučajnog događaja , , .

Primjer 2

Zadatak

U kutiji se nalazi 25 identičnih električnih lampi od kojih su 2 neispravne. Odredite vjerojatnost da slučajno odabrana električna žarulja nije neispravna.

Riješenje

Prema uvjetima zadatka, sve su lampe iste, a odabrana je samo jedna. Potpune mogućnosti izbora. Od svih 25 lampi dvije su neispravne, što znači da su preostale lampe ispravne. Dakle, prema formuli (1), vjerojatnost odabira odgovarajuće električne svjetiljke (događaj) jednaka je:

Odgovor

Vjerojatnost da slučajno odabrana električna žarulja nije neispravna = .

Primjer 3

Zadatak

Nasumično se bacaju dva novčića. Odredite vjerojatnost takvih događaja:

1) – na oba novčića pao je grb;

2) – na jednom od novčića pao je grb, a na drugom – broj;

3) – brojevi su pali na oba novčića;

4) – grb se pojavljuje najmanje jednom.

Riješenje

Ovdje se radi o četiri događaja. Utvrdimo koji slučajevi pridonose svakom od njih. Jedan incident koji pridonosi događaju je pojava grba (skraćeno "GG") na oba novčića.

Da biste razumjeli događaj, zamislite da je jedan novčić srebrni, a drugi bakreni. Prilikom bacanja novčića mogu postojati sljedeći slučajevi:

1) na srebrnom grbu, na bakrenom grbu - broj (označavamo ga kao "GC");

2) na srebrnom broju, na bakrenom - grb (- "CHG").

To znači da je događaj olakšan padežima i .

Događaj je olakšan jednim incidentom: brojevi na oba novčića bili su "HH".

Dakle, događaji ili (GG, HC, CG, HC) čine cjelovitu grupu događaja, svi ti događaji su nekompatibilni, budući da se samo jedan od njih pojavljuje kao rezultat ždrijeba. Osim toga, za simetrične kovanice sva su četiri događaja jednako moguća, pa se mogu smatrati slučajevima. Postoje četiri moguća događaja.

Postoji samo jedan događaj koji doprinosi događaju, pa je njegova vjerojatnost:

Događaj promoviraju dva slučaja, dakle:

Vjerojatnost događaja je ista kao za:

Događaj promoviraju tri slučaja: GG, GC, CG i stoga:

Budući da se razmatraju događaji GG, GC, CG, BC koji su jednako mogući i tvore potpunu skupinu događaja, tada je pojava bilo kojeg od njih pouzdan događaj (označavamo ga slovom, čemu pridonose sva 4 Stoga je vjerojatnost:

To znači da je prvo svojstvo vjerojatnosti potvrđeno.

Odgovor

Vjerojatnost događaja.

Vjerojatnost događaja.

Vjerojatnost događaja.

Vjerojatnost događaja.

Primjer 4

Zadatak

Bacaju se dvije kocke istog pravilnog geometrijskog oblika. Nađite vjerojatnost svih mogućih zbrojeva na obje strane koje se pojave.

Riješenje

Da biste lakše riješili problem, zamislite da je jedna kocka bijela, a druga crna. Svaka od šest strana bijele kocke također može imati jednu od šest strana crne kocke, tako da će svi mogući parovi biti .

Kako je mogućnost pojavljivanja lica na zasebnoj kocki ista (kocke su pravilnog geometrijskog oblika!), onda će mogućnost pojavljivanja svakog para lica biti ista, a kao rezultat bacanja, pojavljuje se samo jedan od parova. Značenja događaja su nespojiva, jednako moguća. Ovo su slučajevi, a postoji 36 mogućih slučajeva.

Sada razmotrimo mogućnost zbroja vrijednosti na licima. Očito je najmanji zbroj 1 + 1 = 2, a najveći 6 + 6 = 12. Preostali dio zbroja povećava se za jedan, počevši od drugog. Označimo događaje čiji su indeksi jednaki zbroju točaka koje su pale na plohe kocke. Za svaki od ovih događaja zapisujemo povoljne slučajeve pomoću oznake , gdje je zbroj, je točke na gornjem rubu bijele kocke, a je točke na rubu crne kocke.

Dakle, za događaj:

za – jedan slučaj (1 + 1);

za – dva slučaja (1 + 2; 2 + 1);

za – tri slučaja (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

za – četiri slučaja (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

za – pet slučajeva (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

za – šest slučajeva (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

za – pet slučajeva (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

za – četiri slučaja (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

za – tri slučaja (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

za – dva slučaja (5 + 6; 6 + 5);

za – jedan slučaj (6 + 6).

Dakle, vrijednosti vjerojatnosti su:

Odgovor

Primjer 5

Zadatak

Prije festivala tri su sudionika zamoljena za izvlačenje: svaki sudionik redom prilazi kanti i nasumično odabire jednu od tri kartice s brojevima 1, 2 i 3, što znači redni broj izvedbe tog sudionika.

Odredite vjerojatnost takvih događaja:

1) – redni broj u redu čekanja podudara se s brojem kartice, odnosno serijskim brojem izvedbe;

2) – niti jedan broj u redu čekanja ne odgovara broju izvedbe;

3) – samo jedan od brojeva u redu čekanja odgovara broju izvedbe;

4) – barem jedan od brojeva u redu čekanja odgovara broju izvedbe.

Riješenje

Mogući rezultati odabira karata su permutacije tri elementa, a broj takvih permutacija je jednak. Svaka od permutacija je događaj. Označimo ove događaje sa . Svakom događaju dodjeljujemo odgovarajuću permutaciju u zagradama:

; ; ; ; ; .

Navedeni događaji su jednako mogući i jedinstveno mogući, odnosno radi se o slučajevima. Označimo to na sljedeći način: (1h, 2h, 3h) – odgovarajući brojevi u redu.

Počnimo s događajem. Postoji samo jedan povoljan slučaj, dakle:

Dva su slučaja povoljna za događaj i stoga:

Događaj promoviraju 3 slučaja: , dakle:

Osim , događaj organiziraju i , odnosno:

Odgovor

Vjerojatnost događaja je .

Vjerojatnost događaja je .

Vjerojatnost događaja je .

Vjerojatnost događaja je .

Klasična definicija vjerojatnosti - teorija i rješavanje problema ažurirano: 15. rujna 2017. od strane: Znanstveni članci.Ru