U paralelogramu su suprotni. "paralelogram i njegova svojstva"

Sažetak lekcije.

Algebra 8. razred

Učitelj Sysoy A.K.

Školske 1828

Tema lekcije: "Paralelogram i njegova svojstva"

Vrsta lekcije: kombinirana

Ciljevi lekcije:

1) Osigurajte asimilaciju novog koncepta - paralelograma i njegovih svojstava

2) Nastaviti razvijati vještine i sposobnosti rješavanja geometrijskih problema;

3) Razvijanje kulture matematičkog govora

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak

(Slajd 1)

Slajd prikazuje izjavu Lewisa Carrolla. Učenici su upoznati sa svrhom nastave. Provjerava se spremnost učenika za nastavu.

2. Obnavljanje znanja

(Slajd 2)

Na ploči su zadaci za usmeni rad. Učitelj poziva učenike da razmisle o tim problemima i podignu ruke onima koji razumiju kako riješiti problem. Nakon što riješe dva zadatka, pred ploču se poziva učenik za dokazivanje teorema o zbroju kutova, koji samostalno gradi dodatne konstrukcije na crtežu i usmeno dokazuje teorem.

Učenici koriste formulu za zbroj kutova mnogokuta:

3. Glavni dio

(Slajd 3)

Definicija paralelograma na ploči. Učitelj govori o novom liku i formulira definiciju, dajući potrebna objašnjenja pomoću crteža. Zatim na kockastom dijelu prezentacije pomoću markera i ravnala pokazuje kako se crta paralelogram (moguće je više slučajeva)

(Slajd 4)

Nastavnik formulira prvo svojstvo paralelograma. Poziva učenike da iz crteža razaznaju što je zadano, a što treba dokazati. Nakon toga se zadani zadatak pojavljuje na ploči. Učenici pogađaju (može i uz pomoć nastavnika) da se tražene jednakosti moraju dokazati kroz jednakosti trokuta koje se mogu dobiti crtanjem dijagonale (dijagonala se pojavljuje na ploči). Zatim učenici pogađaju zašto su trokuti jednaki i imenuju znak kojim su trokuti jednaki (pojavljuje se odgovarajući oblik). Verbalno komuniciraju činjenice koje su potrebne da bi trokuti bili jednaki (kako ih imenuju, pojavljuje se odgovarajuća vizualizacija). Zatim učenici formuliraju svojstvo sukladnih trokuta, ono se pojavljuje kao točka 3. dokaza, a potom samostalno usmeno dovršavaju dokaz teorema.

(Slajd 5)

Nastavnik formulira drugo svojstvo paralelograma. Na ploči se pojavljuje crtež paralelograma. Učiteljica predlaže pomoću slike reći što je zadano, a što treba dokazati. Nakon što učenici točno izvijeste što je zadano i što treba dokazati, pojavljuje se uvjet teorema. Učenici pogađaju da se jednakost dijelova dijagonala može dokazati kroz jednakost trokutaAOB I BAKALAR.. Koristeći prethodno svojstvo paralelograma, pretpostavlja se da su stranice jednakeAB I CD. Tada shvaćaju da trebaju pronaći jednake kutove i koristeći svojstva paralelnih pravaca dokazati jednakost kutova uz jednake stranice. Ove faze su vizualizirane na slajdu. Istinitost teorema proizlazi iz jednakosti trokuta - učenici to izgovaraju i na slajdu se pojavljuje odgovarajuća vizualizacija.

(Slajd 6)

Nastavnik formulira treće svojstvo paralelograma. Ovisno o preostalom vremenu do kraja sata, nastavnik može dati učenicima priliku da sami dokažu to svojstvo ili se ograničiti na njegovu formulaciju, a samo dokazivanje prepustiti učenicima kao domaću zadaću. Dokaz se može temeljiti na zbroju kutova upisanog mnogokuta, koji je ponovljen na početku lekcije, ili na zbroju unutarnjih jednakostraničkih kutova dvaju paralelnih pravaca.OGLAS I prije Krista, i sekans, na primjerAB.

4. Učvršćivanje materijala

U ovoj fazi učenici koriste prethodno naučene teoreme za rješavanje problema. Učenici samostalno odabiru ideje za rješavanje problema. Budući da postoji mnogo mogućih opcija oblikovanja i sve ovise o tome kako će učenici tražiti rješenje problema, nema vizualizacije rješenja zadataka, već učenici samostalno crtaju svaku fazu rješenja na posebnoj ploči. uz bilježenje rješenja u bilježnicu.

(Slajd 7)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dano" prema uvjetu. Nakon što učenici točno zapišu kratku tvrdnju uvjeta, na ploči se pojavljuje “Dano”. Postupak rješavanja problema može izgledati ovako:

Nacrtajmo visinu BH (vizualizirano)

Trokut AHB je pravokutni trokut. Kut A jednak je kutu C i iznosi 30 0 (prema svojstvu suprotnih kutova u paralelogramu). 2BH =AB (po svojstvu katete koja leži nasuprot kutu 30 0 u pravokutnom trokutu). Dakle, AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (prema svojstvu suprotnih stranica u paralelogramu) Dakle AB = CD = 13 cm. Kako je opseg paralelograma 50 cm, onda je BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Odgovor: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Slajd 8)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dano" prema uvjetu. Zatim se na ekranu pojavljuje "Given". Crvenim linijama označen je četverokut za koji treba dokazati da je paralelogram. Postupak rješavanja problema može izgledati ovako:

Jer BK i MD su okomiti na jedan pravac, tada su pravci BK i MD paralelni.

Preko susjednih kutova može se pokazati da je zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova na ravnima BM i KD i sekanti MD jednak 180 0. Dakle, ove su linije paralelne.

Kako četverokut BMDK ima nasuprotne stranice paralelne u parovima, onda je taj četverokut paralelogram.

5. Kraj lekcije. Ponašanje rezultata.

(Slajd 8)

Na slajdu se pojavljuju pitanja o novoj temi na koja učenici odgovaraju.

Videotečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, tj. leže na paralelnim pravcima

Svojstva paralelograma:
Teorem 22. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.
Dokaz. Paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC. Trokuti ACD i ACB su sukladni jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova. njemu susjedni: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kao poprečni kutovi s usporednim pravcima AD i BC). To znači da je AB = CD i BC = AD, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta itd. Iz jednakosti ovih trokuta također slijedi da su odgovarajući kutovi trokuta jednaki:
Teorem 23. Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizlazi iz jednakosti trokuta ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorem 24. Susjedni kutovi paralelograma, tj. kutovi uz jednu stranu zbroje do 180 stupnjeva.
To je tako jer su unutarnji jednostrani kutovi.
Teorem 25. Dijagonale paralelograma međusobno se raspolavljaju u sjecištima.
Dokaz. Promotrimo trokute BOC i AOD. Prema prvom svojstvu AD=BC ∠ OAD=∠ OCB i ∠ ODA=∠ OBC unakrsno ležeći za paralelne pravce AD ​​i BC. Prema tome, trokuti BOC i AOD imaju jednake stranice i susjedne kutove. To znači BO=OD i AO=OS, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd.

Znakovi paralelograma
Teorem 26. Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, onda je on paralelogram.
Dokaz. Neka četverokut ABCD ima jednake stranice AD ​​i BC, AB i CD (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokuti ABC i ACD jednaki su na tri strane. Tada su kutovi BAC i DCA jednaki pa je AB paralelan s CD. Paralelnost stranica BC i AD slijedi iz jednakosti kutova CAD i ACB.
Teorem 27. Ako su nasuprotni kutovi četverokuta u parovima jednaki, tada je on paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. Jer ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD ​​i BC su paralelne (na temelju paralelnosti ravnih pravaca). Također ćemo dokazati paralelnost stranica AB i CD i zaključiti da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorem 28. Ako su susjedni kutovi četverokuta, tj. Kutovi uz jednu stranu zbroje se do 180 stupnjeva, tada je to paralelogram.
Ako zbroj unutarnjih jednostranih kutova iznosi 180 stupnjeva, tada su ravne linije paralelne. Dakle, AB je paralelan s CD, a BC je paralelan s AD. Ispada da je četverokut po definiciji paralelogram.
Teorem 29. Ako se dijagonale četverokuta međusobno raspolovljuju u točki presjeka, tada je četverokut paralelogram.
Dokaz. Ako je AO = OC, BO = OD, tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake (okomite) kutove u vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se prema kriteriju 1 pokazuje kao paralelogram.
Teorem 30. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD četverokuta ABCD paralelne i jednake. Nacrtajmo dijagonale AC i BD. Iz paralelnosti ovih pravaca slijedi da su poprečni kutovi ABO = CDO i BAO = OCD jednaki. Trokuti ABO i CDO imaju jednake stranice i susjedne kutove. Prema tome AO=OS, VO=OD,tj. Dijagonale su podijeljene napola sjecišnom točkom i četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema kriteriju 4.

U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.

Prilikom rješavanja problema na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:

1. Simetrala unutarnjeg kuta paralelograma odsijeca od njega jednakokračni trokut
2. Simetrale unutarnjih kutova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite.
3. Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutarnjih kutova paralelograma međusobno su paralelne ili leže na istoj ravnoj crti
4. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
5. Površina paralelograma jednaka je polovici umnoška dijagonala i sinusa kuta između njih

Razmotrimo probleme u kojima se ta svojstva koriste.

Zadatak 1.

Simetrala kuta C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u točki M, a nastavak stranice AB iza točke A u točki E. Odredi opseg paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.

Riješenje.

1. Trokut CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.

2. Trokut EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Opseg ABCD = 20 cm.

Odgovor. 20 cm.

Zadatak 2.

U konveksnom četverokutu ABCD nacrtane su dijagonale. Poznato je da su površine trokuta ABD, ACD, BCD jednake. Dokažite da je taj četverokut paralelogram.

Riješenje.

1. Neka je BE visina trokuta ABD, CF visina trokuta ACD. Kako su prema uvjetima zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu AD, tada su i visine tih trokuta jednake. BE = CF.

2. BE, CF su okomite na AD. Točke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na ravnu liniju AD. BE = CF. Prema tome, pravac BC || OGLAS. (*)

3. Neka je AL visina trokuta ACD, BK visina trokuta BCD. Kako su prema uvjetima zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu CD, tada su i visine tih trokuta jednake. AL = BK.

4. AL i BK su okomiti na CD. Točke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na ravnu liniju CD. AL = BK. Prema tome, pravac AB || CD (**)

5. Iz uvjeta (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.

Odgovor. dokazano. ABCD je paralelogram.

Zadatak 3.

Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su točke M odnosno H tako da se duži BM i HD sijeku u točki O;<ВМD = 95 о,

Riješenje.

1. U trokutu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. U pravokutnom trokutu DHC
(

Zatim<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Budući da je u pravokutnom trokutu kateta koja leži nasuprot kutu od 30° jednaka polovici hipotenuze).

Ali CD = AB. Tada je AB:HD = 2:1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma duljine 4√6 zatvara s osnovicom kut od 60°, a druga dijagonala s istom osnovicom zatvara kut od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Riješenje.

1. AO = 2√6.

2. Sinusni teorem primjenjujemo na trokut AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji kut između dijagonala jednak je manjem kutu paralelograma. Nađi zbroj duljina dijagonala.

Riješenje.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a kut između dijagonala i manjeg kuta paralelograma jednak je φ.

1. Nabrojimo dvije različite
načine svoje područje.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobivamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f odn.

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Odnosom stranica i dijagonala paralelograma zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Kreirajmo sustav:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožimo drugu jednadžbu sustava s 2 i pribrojimo je prvoj.

Dobivamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Stoga je Id 1 + d 2 I = 24.

Kako su d 1, d 2 duljine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštri kut između dijagonala je 45 stupnjeva. Pronađite površinu paralelograma.

Riješenje.

1. Iz trokuta AOB pomoću kosinusnog teorema ispisujemo odnos stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Slično pišemo relaciju za trokut AOD.

Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobivamo jednadžbu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Imamo sustav
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednadžbe dobivamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 odn.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sustav u potpunosti, predviđajući da nam je u ovom zadatku potreban umnožak dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a stranice su mu 8 i 15. Odredite kvadrat manje dijagonale.

Riješenje.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobivamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Stoga je sin VAD = 4/5.

2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Prema uvjetima zadatka nalazimo duljinu manje dijagonale. Dijagonala VD bit će manja ako je kut VAD oštar. Tada je cos VAD = 3/5.

3. Iz trokuta ABD pomoću kosinusnog poučka nalazimo kvadrat dijagonale BD.

VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odgovor: 145.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti geometrijski problem?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne (slika 233).

Za proizvoljni paralelogram vrijede sljedeća svojstva:

1. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.

Dokaz. Paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC. Trokuti ACD i AC B su jednaki jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova uz nju:

(poput poprečnih kutova s ​​paralelnim pravcima AD i BC). To znači, i kao da stranice jednakih trokuta leže nasuprot jednakih kutova, što je trebalo dokazati.

2. Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki:

3. Susjedni kutovi paralelograma, tj. kutovi uz jednu stranicu, zbroj i sl.

Dokaz svojstava 2 i 3 odmah se dobiva iz svojstava kutova za paralelne pravce.

4. Dijagonale paralelograma se međusobno sijeku u sjecištu. Drugim riječima,

Dokaz. Trokuti AOD i BOC su sukladni jer su im stranice AD ​​i BC jednake (svojstvo 1) i kutovi uz njih (kao poprečni kutovi za paralelne pravce). Odavde slijedi da su odgovarajuće stranice ovih trokuta jednake: AO, što je i trebalo dokazati.

Svako od ova četiri svojstva karakterizira paralelogram, ili, kako se kaže, njegovo je karakteristično svojstvo, tj. svaki četverokut koji ima barem jedno od ovih svojstava je paralelogram (pa prema tome ima i sva ostala tri svojstva).

Provedimo dokaz za svako svojstvo posebno.

1". Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka četverokut ABCD ima jednake stranice AD ​​i BC, AB i CD (sl. 233). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokuti ABC i CDA bit će sukladni jer imaju tri para jednakih stranica.

Ali tada su kutovi BAC i DCA jednaki i . Paralelnost stranica BC i AD slijedi iz jednakosti kutova CAD i ACB.

2. Ako četverokut ima dva para suprotnih kutova jednaka, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka . Od tada su obje stranice AD ​​i BC paralelne (na temelju paralelnosti pravaca).

3. Formulaciju i dokazivanje prepuštamo čitatelju.

4. Ako se dijagonale četverokuta međusobno sijeku u točki presjeka, tada je četverokut paralelogram.

Dokaz. Ako je AO = OS, BO = OD (sl. 233), tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake kutove (okomite!) u vrhu O, zatvorene između parova jednakih stranica AO i CO, BO i DO. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su stranice AD ​​i BC jednake. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se prema karakterističnom svojstvu G pokazuje kao paralelogram.

Dakle, da bi se dokazalo da je dati četverokut paralelogram, dovoljno je provjeriti valjanost bilo kojeg od četiri svojstva. Čitatelj se poziva da samostalno dokaže još jedno karakteristično svojstvo paralelograma.

5. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.

Ponekad se bilo koji par paralelnih stranica paralelograma naziva njegovim bazama, a zatim se druge dvije nazivaju bočnim stranicama. Isječak ravne crte okomit na dvije stranice paralelograma, zatvoren između njih, naziva se visina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima visinu h povučenu na stranice AD ​​i BC, druga visina je prikazana odsječkom .